Question

【題目】拋物線y=x2+4ax+b與x軸相交于O、A兩點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)P（2，2a）作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（其中B、C不重合），連接AP交y軸于點(diǎn)N，連接BC和PC．
（1）a= 時(shí)，求拋物線的解析式和BC的長；
（2）如圖a＜﹣1時(shí)，若AP⊥PC，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a= 時(shí)，

∴拋物線為：y=x2+6x+b，

∴對(duì)稱軸為x=﹣3，

又∵拋物線過原點(diǎn)，

∴b=0，

∴y=x2+6x，

∴令x=2代入y=x2+6x，

∴y=16，

∴B（2，16），

∵點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，

∴C（﹣8，16），

∴BC=2﹣（﹣8）=10

（2）解：由于拋物線過原點(diǎn)O，

∴b=0，

∴y=x2+4ax，

令x=2代入y=x2+4ax，

∴y=4+8a，

∴B（2，4+8a），

∵∵點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，

拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣2a，

∴C（﹣4a﹣2，4+8a），

∵O與A關(guān)于x=﹣2a對(duì)稱，

∴A（﹣4a，0），

∴BC=﹣4a﹣2﹣2=﹣4a﹣4，

∵P（2，2a），

∴M（2，0），

∴PM=0﹣2a=﹣2a，AM=﹣4a﹣2，

BP=2a﹣（4+8a）=﹣4﹣6a，

∵AP⊥PC，

∴∠APM=∠PCB，

∴△AMP∽△BPC，

∴ ，

∴ = ，

∴a=﹣2 ，

∵a＜﹣1，

∴a=﹣2﹣

【解析】（1）令a= 代入拋物線，由于拋物線過原點(diǎn)，所以b=0，從而求出拋物線的解析式，然后根據(jù)條件求出點(diǎn)B與C的坐標(biāo)即可求出BC的長度．（2）由題意可知b=0，然后根據(jù)P的坐標(biāo)分別求出A、B、C、M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC、BP、PM、AM的長度，最后利用△AMP∽△BPC列出關(guān)于a的方程即可求出a的值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關(guān)系和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時(shí)，拋物線開口向上; a<0時(shí)，拋物線開口向下b與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．即可以解答此題．