Question

（2012•遼陽）如圖，拋物線y=ax²+bx-3交y軸于點C，直線l為拋物線的對稱軸，點P在第三象限且為拋物線的頂點．P到x軸的距離為

10

3

，到y(tǒng)軸的距離為1．點C關(guān)于直線l的對稱點為A，連接AC交直線l于B．
（1）求拋物線的表達式；
（2）直線y=

3

4

x+m與拋物線在第一象限內(nèi)交于點D，與y軸交于點F，連接BD交y軸于點E，且DE：BE=4：1．求直線y=

3

4

x+m的表達式；
（3）若N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點，在直線y=

3

4

x+m上是否存在點M，使得以點O、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知點P到坐標(biāo)軸的距離以及點P所在的象限，先確定點P的坐標(biāo)；而點A、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，先求出點A的坐標(biāo)，再由點A、P、C以及待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．
（2）過點D作y軸的垂線，通過構(gòu)建的相似三角形先求出點D的橫坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中能確定點D的坐標(biāo)；再由待定系數(shù)法求直線DF的解析式．
（3）由（2）的結(jié)論可先求出點F的坐標(biāo)，先設(shè)出點M的坐標(biāo)，則OF、OM、FM的表達式可求，若以O(shè)、F、M、N為頂點的四邊形為菱形，那么可分兩種情況：
①以O(shè)F為對角線，那么點M必為線段OF的中垂線與直線DF的交點，此時點M的縱坐標(biāo)為點F縱坐標(biāo)的一半，代入直線DF的解析式后可得點M的坐標(biāo)；
②以O(shè)F為邊，那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出點M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3交y軸于點C
∴C（0，-3）則 OC=3；
∵P到x軸的距離為

10

3

，P到y(tǒng)軸的距離是1，且在第三象限，
∴P（-1，-

10

3

）；
∵C關(guān)于直線l的對稱點為A
∴A（-2，-3）；
將點A（-2，-3），P（-1，-

10

3

）代入拋物線y=ax²+bx-3中，有：

4a-2b-3=-3 a-b-3=- 10 3

，解得

a= 1 3 b= 2 3

∴拋物線的表達式為y=

1

3

x²+

2

3

x-3．

（2）過點D做DG⊥y 軸于G，則∠DGE=∠BCE=90°
∵∠DEG=∠BEC
∴△DEG∽△BEC
∵DE：BE=4：1，
∴DG：BC=4：1；
已知BC=1，則DG=4，點D的橫坐標(biāo)為4；
將x=4代入y=

1

3

x²+

2

3

x-3中，得y=5，則 D（4，5）．
∵直線y=

3

4

x+m過點D（4，5）
∴5=

3

4

×4+m，則 m=2；
∴所求直線的表達式y(tǒng)=

3

4

x+2．

（3）由（2）的直線解析式知：F（0，2），OF=2；
設(shè)點M（x，

3

4

x+2），則：OM²=

25

16

x²+3x+4、FM²=

25

16

x²；
（Ⅰ）當(dāng)OF為菱形的對角線時，點M在線段OF的中垂線上，則點M的縱坐標(biāo)為1；
∴

3

4

x+2=1，x=-

4

3

；即點M的坐標(biāo)（-

4

3

，1）．
（Ⅱ）當(dāng)OF為菱形的邊時，有：
①FM=OF=2，則：

25

16

x²=4，x₁=

8

5

、x₂=-

8

5

代入y=

3

4

x+2中，得：y₁=

16

5

、y₂=

4

5

；
即點M的坐標(biāo)（

8

5

，

16

5

）或（-

8

5

，

4

5

）；
②OM=OF=2，則：

25

16

x²+3x+4=4，x₁=0（舍）、x₂=-

48

25

代入y=

3

4

x+2中，得：y=

14

25

；
即點M的坐標(biāo)（-

48

25

，

14

25

）；
綜上，存在符合條件的點M，且坐標(biāo)為（-

4

3

，1）、（

8

5

，

16

5

）、（-

8

5

，

4

5

）、（-

48

25

，

14

25

）．

點評：此題主要考查的知識點有：利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、菱形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等．最后一題容易漏解，一定要根據(jù)菱形頂點排列順序的不同進行分類討論．