Question

（滿分13分）如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點B、C ；拋物線經(jīng)過B、C兩點，并與軸交于另一點A．

（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)是（1）所得拋物線上的一個動點，過點P作直線軸于點M，交直線BC于點N ．
① 若點P在第一象限內(nèi)．試問：線段PN的長度是否存在最大值 ？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；
② 求以BC為底邊的等腰△BPC的面積．

Answer 1

（1）
（2）①    ② 解析:
（1）由于直線經(jīng)過B、C兩點,令y=0得=3；令=0，得y=3
∴B（3，0），C（0，3）       ……1分
∵點B、C在拋物線上，于是得
                  ……2分
解得b=2，c="3                   " ……3分
∴所求函數(shù)關(guān)系式為 ……4分
（2）①∵點P（,y）在拋物線上，且PN⊥x軸，

∴設(shè)點P的坐標(biāo)為（, ） ……5分
同理可設(shè)點N的坐標(biāo)為（，）    ……6分
又點P在第一象限，
∴PN=PM-NM
=（）-（）
=
= ……7分
∴當(dāng)時，
線段PN的長度的最大值為．          ……8分
②解法一：
由題意知，點P在線段BC的垂直平分線上，又由①知，OB=OC

∴BC的中垂線同時也是∠BOC的平分線，
∴設(shè)點P的坐標(biāo)為
又點P在拋物線上,于是有∴…9分
解得          ……10分
∴點P的坐標(biāo)為：或  …11分
若點P的坐標(biāo)為  ，此時點P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，  ，OB=OC=3
 

……12分

 

若點P的坐標(biāo)為                          ， 此時點P在第三象限，
則



          ……13分
解法二：由題意知，點P在線段BC的垂直平分線上，
又由①知，OB=OC
∴BC的中垂線同時也是∠BOC的平分線，
∴設(shè)點P的坐標(biāo)為
又點P在拋物線上，于是有
∴   ……9分
解得        ……10分
∴點P的坐標(biāo)為:
 或 …11分
若點P的坐標(biāo)為 ，此時點P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，
 ，OB=OC=3



若點P的坐標(biāo)為   ，  此時點P在第三象限，（與解法一相同）……13分
當(dāng)點P在第一象限時，△BPC面積其它解法有：
①，BC=


②


  （本答案僅供參考）