【題目】如圖,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點B落在OA邊上的點E處,分別以O(shè)C,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,D,C三點.

(1)求AD的長及拋物線的解析式;
(2)一動點P從點E出發(fā),沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動,同時動點Q從點C出發(fā),沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動,當(dāng)點P運動到點C時,兩點同時停止運動,設(shè)運動時間為t秒,當(dāng)t為何值時,以P,Q,C為頂點的三角形與ADE相似?
(3)點N在拋物線對稱軸上,點M在拋物線上,是否存在這樣的點M與點N,使以M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M與點N的坐標(biāo)(不寫求解過程);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵四邊形ABCO為矩形,

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8,AO=BC=10.

由題意,得△BDC≌△EDC.

∴∠B=∠DEC=90°,EC=BC=10,ED=BD.

由勾股定理易得EO=6.

∴AE=10﹣6=4,

設(shè)AD=x,則BD=ED=8﹣x,由勾股定理,得x2+42=(8﹣x)2,解得,x=3,∴AD=3.

∵拋物線y=ax2+bx+c過點D(3,10),C(8,0),O(0,0,)

解得 ∴拋物線的解析式為:y= x2+ x.


(2)

∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,

∴∠DEA=∠OCE,

由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5.

而CQ=t,EP=2t,∴PC=10﹣2t.

當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC, ∴ ,即 , 解得t= . 當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC, ∴ ,即 , 解得t= . ∴當(dāng)t= 時,以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似.


(3)

解:假設(shè)存在符合條件的M、N點,分兩種情況討論:①EC為平行四邊形的對角線,由于拋物線的對稱軸經(jīng)過EC中點,若四邊形MENC是平行四邊形,那么M點必為拋物線頂點; 則:M(4, );而平行四邊形的對角線互相平分,那么線段MN必被EC中點(4,3)平分,則N(4, ); ②EC為平行四邊形的邊,則EC//MN,EC =MN,設(shè)N(4,m),則M(4﹣8,m+6)或M(4+8,m﹣6); 將M(﹣4,m+6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣38,此時 N(4,﹣38)、

M(﹣4,﹣32);

將M(12,m﹣6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣26,此時 N(4,﹣26)、M(12,﹣32);

綜上,存在符合條件的M、N點,且它們的坐標(biāo)為: ①M1(﹣4,﹣32),N1(4,﹣38) ②M2(12,﹣32),N2(4,﹣26) ③M3(4, ),N3(4, ).


【解析】(1)根據(jù)折疊性質(zhì)得EC=BC,從而可解出OE,設(shè)AD=x,則ED=8-x,由勾股定理可得AD2+AE2=ED2 , 構(gòu)造方程解出x的值,從而可得D的坐標(biāo),將D的坐標(biāo),C的坐標(biāo),O的坐標(biāo)代入拋物線可求出;(2)易求得∠DEA=∠OCE,由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5.可設(shè)CQ=t,EP=2t,∴PC=10﹣2t.分類討論:當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,與當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC;分別寫出邊的關(guān)系,可求出t;(3)分類討論:①EC為平行四邊形的對角線,由于拋物線的對稱軸經(jīng)過EC中點,若四邊形MENC是平行四邊形,那么M點必為拋物線頂點;從而可求出點M的坐標(biāo);②EC為平行四邊形的邊,則EC//MN,EC =MN,設(shè)N(4,m),根據(jù)E到C的平移關(guān)系與M、N的平移關(guān)系相同,可得M(4﹣8,m+6)或M(4+8,m﹣6);將點M代入拋物線解析式,從而解出m的值.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】為了解某市市民“綠色出行”方式的情況,某校數(shù)學(xué)興趣小組以問卷調(diào)查的形式,隨機(jī)調(diào)查了某市部分出行市民的主要出行方式(參與問卷調(diào)查的市民都只從以下五個種類中選擇一類),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖.

種類

A

B

C

D

E

出行方式

共享單車

步行

公交車

的士

私家車

根據(jù)以上信息,回答下列問題:

(1)參與本次問卷調(diào)查的市民共有 人,其中選擇B類的人數(shù)有 人;

(2)在扇形統(tǒng)計圖中,求A類對應(yīng)扇形圓心角α的度數(shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;

(3)該市約有12萬人出行,若將A,B,C這三類出行方式均視為“綠色出行”方式,請估計該市“綠色出行”方式的人數(shù).

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與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值
(單位:g

5

2

0

1

3

6

袋 數(shù)

1

4

3

4

5

3

1)這批樣品的平均質(zhì)量比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量多還是少?多或少幾克?

2)若每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為450克,則抽樣檢測的總質(zhì)量是多少?

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A. 清清等公交車時間為3分鐘 B. 清清步行的速度是80/

C. 公交車的速度是500/ D. 清清全程的平均速度為290/

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②2a﹣b=0;
③4a+2b+c<0;
④若(﹣5,y1),( ,y2)是拋物線上兩點,則y1>y2
其中說法正確的是(

A.①②
B.②③
C.①②④
D.②③④

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(1)求拋物線的解析式;
(2)若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移,且分別交y軸、線段BC于點E,D,同時動點P從點B出發(fā),沿BO方向以每秒2個單位速度運動,(如圖2);當(dāng)點P運動到原點O時,直線DE與點P都停止運動,連DP,若點P運動時間為t秒;設(shè)s= ,當(dāng)t為何值時,s有最小值,并求出最小值.
(3)在(2)的條件下,是否存在t的值,使以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.

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【題目】1)計算:(15x3y+10x2y﹣5xy2÷5xy

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3)先化簡,再求值:(x+2)(x2x+12,其中x=

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