Question

已知：A、B、C不在同一直線上.

（1）.若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的⊙O上，

A、B、C如圖一，當(dāng)∠A=45°時(shí)，R=1，求∠BOC的度數(shù)和BC的長(zhǎng)度；

Ⅱ.如圖二，當(dāng)∠A為銳角時(shí)，求證sin∠A=；

（2）.若定長(zhǎng)線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與點(diǎn)A不重合）滑動(dòng)，如圖三，當(dāng)∠MAN=60°，BC=2時(shí)，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點(diǎn)為點(diǎn)P ，試探索：在整個(gè)滑動(dòng)過(guò)程中，P、A兩點(diǎn)的距離是否保持不變？請(qǐng)說(shuō)明理由.　　　　　　　　 N　 Q

　

Answer 1

解：（1）. ①

∠BOC=90°（同弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半）；

由勾股定理可知BC==

         （提示：也可延長(zhǎng)BO或過(guò)點(diǎn)O作BC邊的垂線段）

        ②證明：可連接BO并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)E，連接EC.

        可知EC⊥BC（直徑所對(duì)的圓周角為90°）

        且∠E=∠BAC（同弧所對(duì)的圓周角相等）

        故sin∠A=.

 （2）.保持不變.

可知△CQP∽△BQA，且∠AQP=∠BQC，所以△BCQ∽△APQ;

       即; AP==（為定值）.

       故保持不變。