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(1997•廣州)如圖,點B的坐標為(0,-2),點A在x軸正半軸上,將Rt△AOB繞y軸旋轉一周,得到一個圓錐.
(1)當圓錐的側面積為
5
π時,求AB所在直線的函數解析式;
(2)若已知OA的長度為a,按這個圓錐的形狀造一個容器,并在母線AB上刻出把這個容器的容積兩等分的刻度點C,試用含a的代數式去表示BC的長度t(圓錐體積公式:V=
1
3
πr2h,其中r和h分別是圓錐的底面半徑和高).
分析:(1)設點A的坐標為(x,0),求出AB,根據側面積得出方程
1
2
•2xπ•
x2+4
=
5
π,求出x,得出A的坐標,設直線AB的函數解析式為y=kx+b,把A、B的坐標代入求出即可;
(2)作CE⊥BO,垂足為E,根據面積得出EC2×BE=OA2=a2,①根據相似得出
EC
BE
=
a
2
,②由①、②求出EC=
a
32
,根據△EBC∽△OBA,推出
t
AB
=
EC
a
,即可求出答案.
解答:(1)解:設點A的坐標為(x,0),
則AB=
OA2+OB2
=
x2+4
,
根據題意,得
1
2
•2xπ•
x2+4
=
5
π,
解得:x=1,(x=-1不合題意,舍去),
設直線AB的函數解析式為y=kx+b,
把A(1,0),B(0,-2)分別代入上式得:
k+b=0
b=-2
,
解得:k=2,b=-2,
∴直線AB的函數解析式為y=2x-2;

(2)解:作CE⊥BO,垂足為E,
根據題意:
1
2
×
1
3
π×OA2×OB=
1
3
π×EC2×EB,
化簡得:EC2×BE=OA2,
即EC2×EB=a2,①
∵△EBC∽△OBA,
EC
BE
=
a
2
,②
由①、②,得
EC=
a
32
,
∵△EBC∽△OBA,
t
AB
=
EC
a
,
∴t=
EC×AB
a

=
EC•
a2+4
a

=
a
32
a2+4
a

=
a2+4
32

即t=
34
2
a2+4
點評:本題考查了勾股定理,圓錐的側面積,相似三角形的性質和判定等知識點的應用,主要培養(yǎng)學生運用知識點進行計算和推理的能力,題目比較典型,但是有一定的難度.
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