【題目】截長(zhǎng)補(bǔ)短法,是初中幾何題中一種添加輔助線的方法,也是把幾何題化難為易的一種策略.截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等,補(bǔ)短就是通過(guò)延長(zhǎng)或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起,從而解決問(wèn)題.

1)如圖1,ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn),BDC=120°,探索線段DADBDC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路:將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE,可得AE=AD, CE=BD,∠ABD=ACE,DAE=60°,根據(jù)∠BAC+BDC=180°,可知∠ABD+ACD=180°, ACE+ACD=180°,易知△ADE是等邊三角形,所以AD=DE,從而解決問(wèn)題.

根據(jù)上述解題思路,三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是___________

2)如圖2,RtABC,BAC=90°,AB=AC.點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn),BDC=90°,探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】1DA=DB+DC;(2DA=DB+DC,證明見(jiàn)解析;

【解析】

1)結(jié)論:DA=DB+DC.理由:由等邊三角形知AB=AC,∠BAC=60°,結(jié)合∠BDC=120°知∠ABD+ACD=180°,由∠ACE+ACD=180°知∠ABD=ACE,證ABD≌△ACEAD=AE,∠BAD=CAE,再證ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB
2)結(jié)論:DA=DB+DC.理由:延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE,先證ABD≌△ACEAD=AE,∠BAD=CAE,據(jù)此可得∠DAE=BAC=90°,由勾股定理知DA2+AE2=DE2,繼而可得2DA2=DB+DC2;

1)結(jié)論DA=DB+DC.理由如下:

如圖1,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE

∵△ABC是等邊三角形,
AB=AC,∠BAC=60°
∵∠BDC=120°,
∴∠ABD+ACD=180°
又∵∠ACE+ACD=180°,
∴∠ABD=ACE
∴△ABD≌△ACESAS),
AD=AE,∠BAD=CAE,
∵∠ABC=60°,即∠BAD+DAC=60°,
∴∠DAC+CAE═60°,即∠DAE=60°,
∴△ADE是等邊三角形,
DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA=DC+DB;

2)結(jié)論: DA=DB+DC.理由如下:

如圖,將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE

AE=AD,CE=BD,∠ABD=ACE,DAE=90°,

∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,

∴∠ABD+ACD=180°,

∵∠ABD=ACE,

∴∠ACE+ACD=180°,

∴點(diǎn)D、C、E在同一條直線上.

∵∠DAE=90°,DA=EA

∴△ADE是等腰直角三角形,

DA2+AE2=DE2,

2DA2=( DB+DC)2

DA=DB+DC

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2)畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的△AB'C'

3)在(2)的條件下,求點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C'所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)(結(jié)果保留π)

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1)打折銷(xiāo)售后,第17天的日銷(xiāo)售量為________盒;

2)求yx之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出x的取值范圍;

3)已知日銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于560元的天數(shù)共有6天,設(shè)打折銷(xiāo)售的折扣為a折,試確定a的最小值.

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(1)請(qǐng)你探究:,是否都成立?

(2)請(qǐng)你繼續(xù)探究:若ABC為任意三角形,線段AD為其內(nèi)角角平分線,請(qǐng)問(wèn)一定成立嗎?并證明你的判斷.

(3)如圖(2)所示RtABC中,ACB90°,AC8,AB,EAB上一點(diǎn)且AE5CE交其內(nèi)角角平分線ADF.試求的值.

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1相似,的值;

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