Question

如圖在直角坐標系中，二次函數(shù)y=x²-4x+k的頂點是C，與x軸相交于A，B兩點（A在B的左邊）．
（1）若點B的橫坐標x_B滿足5＜x_B＜6，求k的取值范圍；
（2）若tan∠ACB=，求k的值；
（3）當k=0時，點D，E同時從點B出發(fā)，分別向左、向右在拋物線上移動，點D，E在x軸上的正投影分別為M，N，設(shè)BM=m（m＜OB），BN=n，當m，n滿足怎樣的等量關(guān)系時，△ODE的內(nèi)心在x軸上？

Answer 1

解：（1）令y=0，則x²-4x+k=0，
解得x==2±，
∵A在B的左邊，
∴點B的橫坐標x_B為2+，
∵5＜x_B＜6，
∴，
解不等式①得，k＜-5，
解不等式②得，k＞-12，
所以，k的取值范圍是-12＜k＜-5；

（2）如圖，過點A作AG⊥BC于G，作CH⊥AB于H，
∵tan∠ACB=，
∴設(shè)AG=4a，CG=3a，
根據(jù)勾股定理，AC===5a，
∵C為二次函數(shù)的頂點，
∴BC=AC=5a，
∴BG=BC-CG=5a-3a=2a，
在Rt△ABG中，AB===2a，
∵C為二次函數(shù)的頂點，
∴BH=AB=×2a=a，
在Rt△BCH中，CH===2a，
∴AB=CH，
∵AB=（2+）-（2-）=2，
CH==k-4，
∴2=k-4，
兩邊平方得，16-4k=k²-8k+16，
整理得，k²-4k=0，
解得k₁=0，k₂=4；

（3）k=0時，y=x²-4x，
令y=0，則x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
∵A在B的左邊，
∴點B的坐標為（4，0），
∴OM=4-m，ON=4+n，
∵點D、E都在二次函數(shù)y=x²-4x的圖象上，
∴DM=（4-m）²-4（4-m），
EN=（4+n）²-4（4+n），
∵△ODE的內(nèi)心在x軸上，
∴∠DOM=∠EON，
又∵∠DMO=∠ENO=90°，
∴△DOM∽△EON，
∴=，
即=，
整理得，4-m-4=4+n-4，
所以，m+n=0．
分析：（1）令y=0，把k看作常數(shù)，解關(guān)于x的一元二次方程，得到點B的橫坐標，再列出不等式組，然后求解即可；
（2）過點A作AG⊥BC于G，作CH⊥AB于H，根據(jù)∠ACB的正切值設(shè)AG=4a，CG=3a，利用勾股定理列式求出AC=5a，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得BC=AC=5a，求出BG=2a，再利用勾股定理列式表示出AB=2a，然后表示出BH=a，再利用勾股定理列式表示出CH=2a，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)表示出AB、CH并列出方程求解即可得到k的值；
（3）先求出點B的坐標，再表示出OM、ON，并根據(jù)二次函數(shù)解析式表示出DM、EN，根據(jù)△ODE的內(nèi)心在x軸上可知∠DOM=∠EON，然后求出△DOM和△EON相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式整理即可得解．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與x軸的交點問題，解一元一次不等式組，二次函數(shù)的對稱性，銳角三角函數(shù)的正切值，勾股定理的應用，三角形的內(nèi)心是角平分線的交點，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，（2）列出根據(jù)頂點C的縱坐標和AB的長度列出方程是解題的關(guān)鍵，（3）根據(jù)△ODE的內(nèi)心在x軸上得到∠DOM=∠EON是解題的關(guān)鍵．