Question

【題目】已知關于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．

（1）求證：無論m為任何非零實數，此方程總有兩個實數根；

（2）若拋物線y=mx2+（1﹣5m）x﹣5與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且|x1﹣x2|=6，求m的值；

（3）若m＞0，點P（a，b）與Q（a+n，b）在（2）中的拋物線上（點P、Q不重合），求代數式4a2﹣n2+8n的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）m=1或m=﹣；（3）4a2﹣n2+8n=16．

【解析】

（1）直接利用△=b2-4ac，進而利用偶次方的性質得出答案；

（2）首先解方程，進而由|x1-x2|=6，求出答案；

（3）利用（2）中所求得出m的值，進而利用二次函數對稱軸得出答案．

（1）證明：由題意可得：

△=（1-5m）2-4m×（-5）

=1+25m2-10m+20m

=（5m+1）2＞0，

故無論m為任何非零實數，此方程總有兩個實數根；

（2）解：mx2+（1-5m）x-5=0，

解得：x1=-，x2=5，

由|x1-x2|=6，

得|--5|=6，

解得：m=1或m=-；

（3）解：由（2）得，當m＞0時，m=1，

此時拋物線為y=x2-4x-5，其對稱軸為：x=2，

由題已知，P，Q關于x=2對稱，

∴=2，即2a=4-n，

∴4a2-n2+8n=（4-n）2-n2+8n=16．