Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在原點的左側(cè)，點B在原點的右側(cè)），與y軸交于點C，且OA=2，OC=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點E在第一象限內(nèi)的此拋物線上，且OE⊥BC于D，求點E的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使線段PA與PE之差的值最大？若存在，請求出這個最大值和點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了OA、OC的長，即可得出A、C兩點的坐標，然后將兩點坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．
（2）不難得出B點坐標為（3，0），因此△OBC是等腰直角三角形，如果OE⊥BC，那么E點必為直線y=x與拋物線的交點，由此可求出E點的坐標．
（3）由于B點就是A點關(guān)于對稱軸的對稱點，因此只需求出直線BE與拋物線對稱軸的交點即可得出P點的坐標．那么PA、PE的差的最大值就是BE的長，可根據(jù)BE的坐標來求出這個最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得A（-2，0）、C（0，3）．
∵拋物線y=-

1

2

x2+bx+c過A（-2，0）、C（0，3）兩點，
∴

-2-2b+c=0 c=3

解得

b= 1 2 c=3

∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．

（2）由y=-

1

2

x²+

1

2

x+3可得B點坐標為（3，0）．
∴OB=OC=3．
∵OD⊥BC，
∴OD平分∠BOC．（4分）
∴點E的橫坐標等于縱坐標．
設(shè)E（x，y）．
解方程組

y=x y=- 1 2 x2+ 1 2 x+3

得

x1=2 y1=2

，

x2=-3 y2=-3

∴點E的坐標為（2，2）．

（3）在拋物線的對稱軸上存在一點P，
使線段PA與PE之差的值最大．
當點P為拋物線的對稱軸x=

1

2

和BE所在的直線y=-2x+6的交點時，
PA-PE=PB-PE=BE，其值最大．
BE=

12+22

=

5

．（6分）
由

x= 1 2 y=-2x+6

解得

x= 1 2 y=5

∴點P的坐標為（

1

2

，5）．
∴點P為（

1

2

，5）時PA-PE的最大值為

5

．

點評：考查二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．要注意的是（3）中確定P點的位置是解題的關(guān)鍵．