【題目】我們知道,任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解:n=p×q(p,q是正整數(shù),且p≤q),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對值最小,我們就稱p×q是n的最佳分解.并規(guī)定:F(n)= . 例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因為12﹣1>6﹣2>4﹣3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)=
(Ⅰ)如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方,我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù).
求證:對任意一個完全平方數(shù)m,總有F(m)=1;
(Ⅱ)如果一個兩位正整數(shù)t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù)),交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”,求所有“吉祥數(shù)”;
(Ⅲ)在(2)所得“吉祥數(shù)”中,求F(t)的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)證明:對任意一個完全平方數(shù)m,設(shè)m=n2(n為正整數(shù)), ∵|n﹣n|=0,
∴n×n是m的最佳分解,
∴對任意一個完全平方數(shù)m,總有F(m)= =1;
(Ⅱ)設(shè)交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′,則t′=10y+x,
∵t是“吉祥數(shù)”,
∴t′﹣t=(10y+x)﹣(10x+y)=9(y﹣x)=36,
∴y=x+4,
∵1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù),
∴滿足“吉祥數(shù)”的有:15,26,37,48,59;
(Ⅲ)F(15)= ,F(xiàn)(26)= ,F(xiàn)(37)= ,F(xiàn)(48)= = ,F(xiàn)(59)=
,
∴所有“吉祥數(shù)”中,F(xiàn)(t)的最大值為
【解析】(Ⅰ)對任意一個完全平方數(shù)m,設(shè)m=n2(n為正整數(shù)),找出m的最佳分解,確定出F(m)的值即可; (Ⅱ)設(shè)交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′,則t′=10y+x,根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義確定出x與y的關(guān)系式,進而求出所求即可;
(Ⅲ)利用“吉祥數(shù)”的定義分別求出各自的值,進而確定出F(t)的最大值即可.
【考點精析】掌握因式分解的應(yīng)用是解答本題的根本,需要知道因式分解是整式乘法的逆向變形,可以應(yīng)用與數(shù)字計算、求值、整除性問題、判斷三角形的形狀、解方程.

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