Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，6），點B是x軸正半軸上的一個動點，連接AB，取AB的中點M，將線段MB繞著點B按順時針方向旋轉90°，得到線段BC．過點B作x軸的垂線交直線AC于點D．設點B坐標是（t，0）．
（1）當t=4時，求直線AB的解析式；
（2）用含t的代數(shù)式表示點C的坐標及△ABC的面積．

Answer 1

（1）當t=4時，B（4，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b．
把A（0，6），B（4，0）代入得：

b=6 4k+b=0

，
解得：

k- 3 2 b=6

，
則直線AB的解析式是：y=-

3

2

x+6；

（2）過C作CE⊥x軸于點E．
∵∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，
∴△AOB∽△BEC，
∴

BE

AO

=

CE

BO

=

BC

AB

=

1

2

，
∴BE=

1

2

AO=3，CE=

1

2

OB=

t

2

，
∴點C的坐標是（t+3，

t

2

）．
S_梯形AOEC=

1

2

OE•（AO+EC）=

1

2

（t+3）（6+

t

2

）=

1

4

t²+

15

4

t+9，
S_△AOB=

1

2

AO•OB=

1

2

×6•t=3t，
S_△BEC=

1

2

BE•CE=

1

2

×3×

t

2

=

3

4

t，
∴S_△ABC=S_梯形AOEC-S_△AOB-S_△BEC
=

1

4

t²+

15

4

t+9-3t-

3

4

t
=

1

4

t²+9．