Question

【題目】如圖，已知直線y= x﹣3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P在以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB，則△PAB面積的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，延長(zhǎng)DP交⊙C于另一點(diǎn)P′，此時(shí)△P′AB的面積最大，如圖所示．
當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，
∴點(diǎn)B（0，﹣3）；
當(dāng)y= x﹣3=0時(shí)，x=4，
∴點(diǎn)A（4，0）．
∵點(diǎn)C（0，1），
∴BC=1﹣（﹣3）=4，AO=4，BO=3，AB= =5．
∵∠ABO=∠CBD，∠AOB=∠CDB=90°，
∴△AOB∽△CDB，
∴ ，
∴CD= = ，
∴DP′=CD+CP′= +1= ．
∴S△P′AB= ABP′D= ×5× = ．
故答案為： ．

過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，延長(zhǎng)DP交⊙C于另一點(diǎn)P′，此時(shí)△P′AB的面積最大，將x=0、y=0代入y= x﹣3中求出與之相對(duì)應(yīng)的y、x的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由∠ABO=∠CBD、∠AOB=∠CDB=90°即可證出△AOB∽△CDB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD的長(zhǎng)度，將其+1即可得出DP′的長(zhǎng)度，利用三角形的面積公式即可求出△PAB面積的最大值．