Question

【題目】綜合與實(shí)踐探究幾何元素之間的關(guān)系

問(wèn)題情境：四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C，O，A都不重合），過(guò)點(diǎn)A，C分別作直線BE的垂線，垂足分別為F，G，連接OF，OG.

（1）初步探究：

如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，且點(diǎn)E在線段OC上，求證；

（2）深入思考：請(qǐng)從下面A，B兩題中任選一題作答，我選擇_______題.

A.探究圖1中OF與OG的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

B.如圖2，已知四邊形ABCD為菱形，且點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，其余條件不變，探究OF與OG的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

（3）拓展延伸：請(qǐng)從下面AB兩題中任選一題作答，我選擇_______題.

如圖3，已知四邊形ABCD為矩形，且，.

A.點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若，則FG的長(zhǎng)為________.

B.點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若，則FG的長(zhǎng)為________.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）A. ，理由見(jiàn)解析；B. . 理由見(jiàn)解析；（3）A. B.或

【解析】

（1）根據(jù)題意，AF⊥BE，CG⊥BE，，，則，利用AAS證明，即可得到答案；

（2）A．由（1）知，，然后得到OB=OA，由，得到，即可得到OF=OG；

B．延長(zhǎng)GO交FA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，找到條件，證明，然后得到OH=OG=OF；

（3）A．根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到△ABO是等邊三角形，然后得到∠ABF=30°，則，由勾股定理，求出BF和BG的長(zhǎng)度，即可得到FG.

B．根據(jù)題意，由，由兩種情況，要進(jìn)行分類(lèi)討論；結(jié)合矩形的性質(zhì)，得到△AFB和△BCG是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)值，求出BF和BG的長(zhǎng)度，然后求出FG的長(zhǎng)度即可.

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）A.解： ；

理由如下：如圖1，連接OB，

由（1）知，，，

∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

B.解：.

理由如下：延長(zhǎng)GO交FA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵，，

∴，

∴，

∴，，

∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴ ；

（3）A、解：如圖：連接OB，

在直角三角形ABC中，OA=OB=OC，

∵∠BAC=60°，

∴△ABO是等邊三角形，

∴∠ABO=60°，

∵BF=BG，

∴點(diǎn)B是FG的中點(diǎn)，

∴OB∥AF，

∴∠BAF=60°，

∵∠AFB=90°，

∴∠ABF=30°，

∴，

∴，

∴BG=，

∴FG=；

故答案為：.

B．解：①如圖，OF∥BC，則OF⊥AB，

∵點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，

∴點(diǎn)H為AB的中點(diǎn)，即AH=BH，

∴△ABF是等腰三角形，則AF=BF，

∵∠AFB=90°，

∴∠BAF=∠ABF=45°，

∴，

同理：△BCG是等腰直角三角形，，

∴，

∴；

②如圖，OF∥BC，延長(zhǎng)OF交AB于點(diǎn)I，

由①可知，△ABF是等腰直角三角形，，

△BCG是等腰直角三角形，，

∴；

綜合上述，FG的長(zhǎng)度為：或.

故答案為：或.