Question

把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時AP•CQ的值為

8

．將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，則AP•CQ的值是否會改變？
答：

不會

．（填“會”或“不會”）此時AP•CQ的值為

8

．（不必說明理由）
（2）在（1）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2、圖3供解題用）
（3）在（1）的條件下，PQ能否與AC平行？若能，求出y的值；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，故可得出△APD∽△CDQ，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出AP•CQ的值，當(dāng)將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，同理可得△APD∽△CDQ，故可得出結(jié)論；
（2）由于三角板DEF的旋轉(zhuǎn)角度不能確定，故應(yīng)分0°＜α≤45°與45°＜α＜90°時兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)0°＜α≤45°時，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，則DM=DN=2，由于CQ=x，則AP=

8

x

，再用x表示出△APD及△DQC的面積即可；②當(dāng)45°＜α＜90°時，過點D作DG⊥BC于G，DG=2，用x表示出AP及BP的值，再根據(jù)

BP

DG

=

BM

MG

即可求出MG及MQ的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）在圖（2）的情況下，根據(jù)PQ∥AC時，BP=BQ，即可求出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）8，不會，8；
∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜邊中點為O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．
∵在△APD與△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a，
∠CDQ=90°-a，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴

AP

AD

=

CD

CQ

，
∴AP•CQ=AD•CD=AD²=（

1

2

AC）²=8．

（2）當(dāng)0°＜α≤45°時，如圖2，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
∵O是斜邊的中點，
∴DM=DN=2，
∵CQ=x，則AP=

8

x

，
∴S_△APD=

1

2

•

8

x

•2=

8

x

，S_△DQC=

1

2

x×2=x，
∴y=8-

8

x

-x（2≤x＜4），
當(dāng)45°＜α＜90°時，如圖3，過點D作DG⊥BC于G，DG=2
∵CQ=x，
∴AP=

8

x

，
∴BP=

8

x

-4
∵

BP

DG

=

BM

MG

，
即

8 x -4

2

=

2-MG

MG

，MG=

2x

4-x

…（6分）
∴MQ=

2x

4-x

+（2-x）=

x2-4x+8

4-x

∴y=

x2-4x+8

4-x

（0＜x＜2）；

（3）在圖（2）的情況下，
∵PQ∥AC時，BP=BQ，
∴AP=QC
∴x=

8

x

，解得x=2

2

，
∴當(dāng)x=2

2

時，y=8-

8

2 2

-2

2

=8-4

2

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．