Question

【題目】閱讀理解
拋物線y=x2上任意一點(diǎn)到點(diǎn)（0，1）的距離與到直線y=﹣1的距離相等，你可以利用這一性質(zhì)解決問題．
問題解決
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1與y軸交于C點(diǎn)，與函數(shù)y=x2的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作直線y=﹣1的垂線，交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并說明∠ECF=90°
（2）在△PEF中，M為EF中點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)．
①求證：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
②已知PE=PF=3，以EF為一條對(duì)角線作平行四邊形CEDF，若1＜PD＜2，試求CP的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)x=0時(shí)，y=k0+1=1，

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）．

根據(jù)題意可得：AC=AE，

∴∠AEC=∠ACE．

∵AE⊥EF，CO⊥EF，

∴AE∥CO，

∴∠AEC=∠OCE，

∴∠ACE=∠OCE．

同理可得：∠OCF=∠BCF．

∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，

∴2∠OCE+2∠OCF=180°，

∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°

（2）

①過點(diǎn)P作PH⊥EF于H，

Ⅰ．若點(diǎn)H在線段EF上，如圖2①．

∵M(jìn)為EF中點(diǎn)，

∴EM=FM=EF．

根據(jù)勾股定理可得：

PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2

=2PH2+EH2+HF2﹣2（PH2+MH2）

=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2

=（EH+MH）（EH﹣MH）+（HF+MH）（HF﹣MH）

=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）

=EM（EH+MH）+EM（HF﹣MH）

=EM（EH+MH+HF﹣MH）

=EMEF=2EM2，

∴PE2+PF2=2（PM2+EM2）；

Ⅱ．若點(diǎn)H在線段EF的延長(zhǎng)線（或反向延長(zhǎng)線）上，如圖2②．

同理可得：PE2+PF2=2（PM2+EM2）．

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)H在直線EF上時(shí)，都有PE2+PF2=2（PM2+EM2）；

②連接CD、PM，如圖3．

∵∠ECF=90°，

∴CEDF是矩形，

∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，

∴M是CD的中點(diǎn)，且MC=EM．

由①中的結(jié)論可得：

在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），

在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．

∵M(jìn)C=EM，

∴PC2+PD2=PE2+PF2．

∵PE=PF=3，

∴PC2+PD2=18．

∵1＜PD＜2，

∴1＜PD2＜4，

∴1＜18﹣PC2＜4，

∴14＜PC2＜17．

∵PC＞0，

∴＜PC＜．

【解析】（1）如圖1，只需令x=0，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．根據(jù)題意可得AC=AE，從而有∠AEC=∠ACE．易證AE∥CO，從而有∠AEC=∠OCE，即可得到∠ACE=∠OCE，同理可得∠OCF=∠BCF，然后利用平角的定義即可證到∠ECF=90°；
（2））①過點(diǎn)P作PH⊥EF于H，分點(diǎn)H在線段EF上（如圖2①）和點(diǎn)H在線段EF的延長(zhǎng)線（或反向延長(zhǎng)線）上（如圖2②）兩種情況討論，然后只需運(yùn)用勾股定理及平方差公式即可證到PE2+PF2﹣2PM2=2EM2 ， 即PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
②連接CD，PM，如圖3．易證CEDF是矩形，從而得到M是CD的中點(diǎn)，且MC=EM，然后根據(jù)①中的結(jié)論，可得：在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．由MC=EM可得PC2+PD2=PE2+PF2 ． 根據(jù)PE=PF=3可求得PC2+PD2=18．根據(jù)1＜PD＜2可得1＜PD2＜4，即1＜18﹣PC2＜4，從而可求出PC的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．