Question

以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點(diǎn)A，B。

（1）如圖一，動點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā)，沿x軸向右勻速運(yùn)動，與此同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，沿圓周按順時針方向勻速運(yùn)動，若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度比點(diǎn)P的運(yùn)動速度慢，經(jīng)過1秒后點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（2，0），此時PQ恰好是⊙O的切線，連接OQ，求∠QOP的大小；
（2）若點(diǎn)Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動，點(diǎn)P停留在點(diǎn)（2，0）處不動，求點(diǎn)Q再經(jīng)過5秒后直線PQ被截得的弦長。

Answer 1

解：（1）如圖，連結(jié)AQ， 由題意可知：OQ=OA=1， ∵OP=2， ∴A為OP的中點(diǎn)， ∵PQ與O相切于點(diǎn)Q， ∴△OQP為直角三角形， ∴， 即ΔOAQ為等邊三角形， ∴∠QOP=60°；
（2）由（1）可知點(diǎn)Q運(yùn)動1秒時經(jīng)過的弧長所對的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動，那么再過5秒，則Q點(diǎn)落在O與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)處（如圖二），設(shè)直線PQ與O的另外一個交點(diǎn)為D，過O作OC⊥QD于點(diǎn)C，則C為QD的中點(diǎn)， ∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2， ∴QP=， ∵， ∴OC=， ∵OC⊥QD，OQ=1，OC=， ∴QC=， ∴QD=。