Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F，連接EF．設(shè)CE=a，CF=b．

（1）如圖1，當(dāng)∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求a、b的值；
（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，求a、b的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCF=∠DCE=90°

∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠EAF被對(duì)角線AC平分，

∴∠CAF=∠CAE，

在△ACF和△ACE中， ，

∴△ACF≌△ACE，

∴CF=CE，

∵CE=a，CF=b，

∴a=b，

∵△ACF≌△ACE，

∴∠AEF=∠AFE，

∵∠EAF=45°，

∴∠AEF=∠AFE=67.5°，

∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，

∵∠CAF=∠CAE=22.5°，

∴∠CAE=∠CEA，

∴CE=AC=4 ，即：a=b=4

（2）

解：當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，

①如圖所示：

∵∠AFE=90°，

∴∠AFD+∠CFE=90°，

∵∠CEF+∠CFE=90°，

∴∠AFD=∠CEF

∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，

∴∠AEF=45°=∠EAF∴AF=EF，

在△ADF和△FCE中 ，

∴△ADF≌△FCE，

∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，

∴a=8，b=4．

②當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，同①的方法得，CF=4，CE=8，

∴a=4，b=8

【解析】（1）先證明△ACF≌△ACE，從而得到CF=CE，然后再證明△ACE為等腰三角形，則CE=AC=4 ；（2）當(dāng)∠AFE=90°，可證明△ADF≌△FCE，則FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，從而可求得a、b的值，同理當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，也可求得a、b的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．