Question

【題目】如圖1，拋物線過點(diǎn)，，點(diǎn)為直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)，拋物線對稱軸與直線交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式與頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在直線上是否存在點(diǎn)，使得，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－4）；（2）符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1），代入拋物線即可求出拋物線解析式，配方即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式為，求得MN=1，分①若為平行四邊形的一邊，則有，且及②若為平行四邊形的對角線，進(jìn)行解答即可；

（3）構(gòu)造,使得，作軸，則，根據(jù)勾股定理可得，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)

（1）把，代入拋物線得

解得：

∴

∵

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－4）．

（2）設(shè)直線的表達(dá)式為，則

解得：

∴直線的表達(dá)式為．

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－3），

∴．

①若為平行四邊形的一邊，則有，且．

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，則，

∴，

∴（舍去），．

∴點(diǎn)坐標(biāo)為．

②若為平行四邊形的對角線，設(shè)，則．

代入拋物線得：，解得（舍去），，

∴

綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

（3）

如圖，在對稱軸上取點(diǎn)，易得，且，以為圓心，為半徑作圓交軸與點(diǎn)，則．作軸，則，

又∵，

∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．