Question

【題目】如圖，在⊙O中AB是直徑，點F是⊙O上一點，點E是的中點，過點E作⊙O的切線，與BA、BF的延長線分別交于點C、D，連接BE．

（1）求證：BD⊥CD．

（2）已知⊙O的半徑為2，當AC為何值時，BF＝DF，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當AC＝4時，BF＝DF．理由見解析．

【解析】

（1）連結OE，由直線CD與⊙O相切于點E，得到OE⊥CD，由同圓的半徑相等推出∠ABE＝∠OEB，由點E是的中點，得到∠ABE＝∠DBE，證得∠DBE＝∠OEB，得到OE∥BD，得出結論BD⊥CD；

（2）當AC＝4時，連接AF，證明AF∥CD，所以，即BF＝DF．

（1）如圖1，連接OE，

∵CD與⊙O相切于點E，

∴OE⊥CD，

∴∠CEO＝90°．

∵點E是的中點，

∴，

∴∠ABE＝∠DBE，

∵OB＝OE，

∴∠ABE＝∠OEB，

∴∠DBE＝∠OEB，

∴OE∥BD，

∴BD⊥CD；

（2）當AC＝4時，BF＝DF．

理由如下：

如圖2，連接AF，

∵AB是的直徑，

∴∠AFB＝90°，

由（1）知∠D＝90°，

∴∠D＝∠AFB，

∴AF∥CD，

∴，

當AC＝4時，

∵⊙O的半徑為2，

∴AB＝4，

∴此時AC＝AB，

∴，

∴，

∴BF＝DF．