Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于兩點，其中點A坐標（-1，0 ），點C（0，5）、D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△MCB面積；
（3）在拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積等于△MCB的面積？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A、C、D三點在拋物線上，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）過點M作MN∥y軸交BC軸于點N，則△MCB的面積=△MCN的面積+△MNB的面積=MN•OB；
（3）先由△PAB的面積等于△MCB的面積，求出AB邊上的高即點P的縱坐標的絕對值，再將點P的縱坐標代入拋物線的解析式，得到一元二次方程，如果方程有實數(shù)根，則在拋物線上存在點P，否則不存在．
解答：解：（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三點在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴，
解方程組，得，
故拋物線的解析式為y=-x²+4x+5；

（2）過點M作MN∥y軸交BC軸于點N，則△MCB的面積=△MCN的面積+△MNB的面積=MN•OB．
∵y=-x²+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）²+9，
∴M（2，9），B（5，0），
由B、C兩點的坐標易求得直線BC的解析式為：y=-x+5，
當x=2時，y=-2+5=3，則N（2，3），
則MN=9-3=6，
則S_△MCB=×6×5=15；

（3）在拋物線上存在點P，使△PAB的面積等于△MCB的面積．理由如下：
∵A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6，
∵△PAB的面積=△MCB的面積，
∴×6×|y_P|=15，
∴|y_P|=5，y_P=±5．
當y_P=5時，-x²+4x+5=5，解得x₁=0，x₂=4；
當y_P=-5時，-x²+4x+5=-5，解得x₃=2+，x₄=2-．
故在拋物線上存在點P₁（0，5），P₂（4，5），P₃（2+，-5），P₃（2-，-5），使△PAB的面積等于△MCB的面積．
點評：本題考查了解二次函數(shù)綜合題的方法：先運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，確定各特殊點的坐標，得到有關線段的長，求出三角形的面積，再利用已知條件、函數(shù)的性質等知識去確定其他點的坐標．