Question

是否存在一個三角形的三邊長恰是三個連續(xù)正整數，且其中一個內角等于另一內角2倍的△ABC？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：如圖，當∠A=2∠B時，延長BA至點D，使AD=AC=b，連接CD，則△ACD為等腰三角形，若∠A=2∠B，得a²=b（b+c），有以下三種情形：
（1）當a＞c＞b時，（2）當c＞a＞b時，（3）當a＞b＞c時分別得出即可．
解答：解：存在滿足條件的三角形
當△ABC 的三邊長分別為 a=6，b=4，c=5時，∠A=2∠B
如圖，當∠A=2∠B時，延長BA至點D，使AD=AC=b，連接CD，則△ACD為等腰三角形
∵∠BAC為△ACD的一個外角，∴∠BAC=2∠D
由已知∠BAC=2∠B，則∠B=∠D
∴△CBD為等腰三角形
又∠D為△ACD與△CBD 的一個公共角，∴△ACD∽△CBD
于是=，即=，
∴a²=b（b+c）
∵6²=4（4+5），∴此三角形滿足題設條件
故存在滿足條件的三角形
說明：滿足條件的三角形不是唯一的，
若∠A=2∠B，得a²=b（b+c），有以下三種情形：
（1）當a＞c＞b時，設a=n+1，c=n，b=n-1（n為大于1的正整數）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）（2n-1）
解得n=5
∴a=6，b=4，c=5
（2）當c＞a＞b時，設c=n+1，a=n，b=n-1（n為大于1的正整數）
代入a²=b（b+c），得n²=2n（n-1）
解得n=2
∴a=2，b=1，c=3，此時不能構成三角形
（3）當a＞b＞c時，設a=n+1，b=n，c=n-1（n為大于1的正整數）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=n（2n-1）
即n²-3n-1=0，此方程無整數解
所以，三邊長恰為三個連續(xù)的整數，且其中一個內角等于另一個內角2倍的三角形存在，而且只有三邊長分別為4、5、6構成的三角形滿足條件
點評：本題是一道綜合題，考查了三角形的內切圓和三角形的面積，難度較大．