【題目】如圖,點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),連接,,,,.以為頂點(diǎn),為一邊,在外部作,且,連接,.
(1)求證:;
(2)根據(jù)推理可得__________,__________;(用含的代數(shù)式表示)
(3)探究:當(dāng)為多少度時(shí),是等腰三角形.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2),;(3)為125°或110°或140°.
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出,,然后利用SAS定理證得,然后根據(jù)全等三角形的和等式的性質(zhì)可求,,從而判定△OCD是等邊三角形,從而求解;
(2)根據(jù)∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD求解;根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知∠ADC=∠BOC=α,又由等邊三角形的性質(zhì)可得∠ODC=60°,從而求出∠ODA的度數(shù);
(3)分三種情況討論,利用已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解.
解:(1)為等邊三角形,
,.
又,,
,,,
又,
是等邊三角形.
.
(2)由題意可知:∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD且,
又由(1)可知是等邊三角形.
∴∠COD=60°
∴∠AOD=360°-110°-α-60°=190°-α;
由(1)可知:且是等邊三角形
∴∠ADC=∠BOC=α且∠ODC=60°
∴∠ADC=∠BOC-∠ODC=α-60°
故答案為:;;
(3)解:①當(dāng)時(shí),,
即,
解,得.
②當(dāng)時(shí),,
,
即,
,
解,得.
③當(dāng)時(shí),,
即,
解,得.
當(dāng)為125°或110°或140°時(shí),是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交∠ACB的角平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F
(1)求證:EO=FO;
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形CEAF是矩形?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
(3)在第(2)問(wèn)的結(jié)論下,若AE=3,EC=4,AB=12,BC=13,請(qǐng)直接寫出凹四邊形ABCE的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,M為BC上的點(diǎn),E是AD的延長(zhǎng)線的點(diǎn),且AE=AM,過(guò)E作EF⊥AM垂足為F,EF交DC于點(diǎn)N.
(1)求證:AF=BM;
(2)若AB=12,AF=5,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A(-1,m),B(n,-1)兩點(diǎn),直線AB與y軸交于C點(diǎn),連接OB.
(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在x軸上找一點(diǎn)P,連接BP,使△BOP的面積等于△BOC的面積的2倍,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題是真命題的是( )
A.有兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
B.兩腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等
C.兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等
D.一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某日上午點(diǎn)鐘,市氣象局測(cè)得在城市正東方向處點(diǎn)有一臺(tái)風(fēng)中心正在以千米/時(shí)的速度沿西偏北的方向迅速移動(dòng)(如圖所示).據(jù)資料表明,在距離臺(tái)風(fēng)中心范圍內(nèi)為嚴(yán)重影響區(qū)域(假定臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)方向不變,影響力不變).(參考數(shù)據(jù):,).
(1)市會(huì)不會(huì)受這次臺(tái)風(fēng)的嚴(yán)重影響,為什么;
(2)如果市會(huì)受嚴(yán)重影響,那么這次臺(tái)風(fēng)對(duì)市嚴(yán)重影響多長(zhǎng)時(shí)間?
(3)市規(guī)定臺(tái)風(fēng)嚴(yán)重影響前一小時(shí)向市民發(fā)出預(yù)警警報(bào).如果市會(huì)受這次臺(tái)風(fēng)嚴(yán)重影響,那么市應(yīng)在幾點(diǎn)鐘發(fā)出預(yù)警警報(bào)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列兩段材料,回答問(wèn)題:
材料一:點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,).例如,點(diǎn)(1,5),(3,﹣1)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),即(2,2).
材料二:如圖1,正比例函數(shù)l1:y=k1x和l2:y=k2x的圖象相互垂直,分別在l1和l2上取點(diǎn)A,B,使得AO=BO.分別過(guò)點(diǎn)A,B作x軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)C,D.顯然,△AOC≌△OBD.設(shè)OC=BD=a,AC=OD=b,則A(﹣a,b),B(b,a).于是k1=﹣,k2=,所以k1k2的值為一個(gè)常數(shù).一般地,一次函數(shù)y=k1x+b1,y=k2x+b2可分別由正比例函數(shù)l1,l2平移得到.
所以,我們經(jīng)過(guò)探索得到的結(jié)論是:任意兩個(gè)一次函數(shù)y=k1x+b1,y=k2x+b2的圖象相互垂直,則k1k2的值為一個(gè)常數(shù).
(1)在材料二中,k1k2= (寫出這個(gè)常數(shù)具體的值);
(2)如圖2,在矩形OBAC中A(4,2),點(diǎn)D是OA中點(diǎn),用兩段材料的結(jié)論,求點(diǎn)D的坐標(biāo)和OA的垂直平分線l的解析式;
(3)若點(diǎn)C′與點(diǎn)C關(guān)于OA對(duì)稱,用兩段材料的結(jié)論,求點(diǎn)C′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC 中,AB 為半圓 O 的直徑,AC、BC 分別交半圓 O 于點(diǎn) E、D,且 BD=DE.
(1)求證:點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn).
(2)若點(diǎn) E 是 AC 的中點(diǎn),判斷△ABC 的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交A(﹣1,0),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí),求△PCD的面積;
(3)點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上,點(diǎn)M在x軸上,是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N,使以M,N,C,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)(不寫求解過(guò)程);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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