Question

為了探索代數(shù)式的最小值，

小張巧妙的運用了數(shù)學思想．具體方法是這樣的：如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作，連結AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，設BC=x．則， 則問題即轉化成求AC+CE的最小值．

(1)我們知道當A、C、E在同一直線上時，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于       ，此時        ；

(2)題中“小張巧妙的運用了數(shù)學思想”是指哪種主要的數(shù)學思想?

(選填：函數(shù)思想，分類討論思想、類比思想、數(shù)形結合思想)

(3)請你根據(jù)上述的方法和結論，試構圖求出代數(shù)式的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）10，；（2）數(shù)形結合思想；（3）13.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)兩點之間線段最短可知AC+CE的最小值就是線段AE的長度．過點E作EF∥BD，交AB的延長線于F點．在Rt△AEF中運用勾股定理計算求解．

（2）小張巧妙的運用了數(shù)形結合思想.

（3）由（1）的結果可作BD=12，過點A作AF∥BD，交DE的延長線于F點，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值就是代數(shù)式的最小值.

試題解析：（1）過點E作EF∥BD，交AB的延長線于F點，

根據(jù)題意，四邊形BDEF為矩形．

AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．

∴．

即AC+CE的最小值是10．

∵EF∥BD，

∴，

∴，

解得：．

（3）過點A作AF∥BD，交DE的延長線于F點，

根據(jù)題意，四邊形ABDF為矩形．

EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12．

∴

即AC+CE的最小值是13．

考點: 軸對稱-最短路線問題．