【題目】如圖1P為正方形ABCD的邊BC上一動點(PB、C不重合),連接AP,過點BBQAPCD于點Q,將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC',延長QC′交BA的延長線于點M

1)試探究APBQ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

2)求證:MQMB;

3)若AB3BP2PC,求QM的長.

【答案】1AP=BQ,證明詳見解析;(2)詳見解析;(3QM的長為

【解析】

1)要證APBQ,只需證△PBA≌△QCB即可.

2)易得DCAB,從而有∠CQB=∠QBA.由折疊可得∠CQB=∠CQB,即可得到∠QBA=∠CQB,即可得到MQMB

3)過點QQHABH,如圖.易得QHBCAB3,BP2PC1,然后運用勾股定理可求得AP(即BQ)=BH2.設(shè)QMx,則有MBxMHx2.在RtMHQ中運用勾股定理就可解決問題.

1)解:結(jié)論:APBQ

理由:∵四邊形ABCD是正方形,

ABBC,∠ABC=∠C90

∴∠ABQ+CBQ90

BQAP,

∴∠PAB+QBA90,

∴∠PAB=∠CBQ

在△PBA和△QCB中,

,

∴△PBA≌△QCB,

APBQ

2)證明:∵四邊形ABCD是正方形,

DCAB,

∴∠CQB=∠QBA

由折疊可得∠CQB=∠CQB,

∴∠QBA=∠CQB,

MQMB

3)解:過點QQHABH,如圖.

∵四邊形ABCD是正方形,

QHBCAB3

BP2PC,

BP2,PC1,

BQAP

BH2

∵四邊形ABCD是正方形,

DCAB

∴∠CQB=∠QBA,

由折疊可得∠CQB=∠CQB,

∴∠QBA=∠CQB,

MQMB

設(shè)QMx,則有MBx,MHx2

RtMHQ中,

根據(jù)勾股定理可得x2=(x22+32,

解得x

QM的長為

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A. A的橫坐標(biāo)有可能大于3

B. 矩形1是正方形時,點A位于區(qū)域②

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