【題目】如圖,在⊙O中,直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB,垂足為點(diǎn)N,連接AC,BC,點(diǎn)E在AB上,且AE=CE.
(1)求證:∠ABC=∠ACE;
(2)過點(diǎn)B作⊙O的切線交EC的延長線于點(diǎn)P,證明PB=PE;
(3)在第(2)問的基礎(chǔ)上,設(shè)⊙O半徑為2,若點(diǎn)N為OC中點(diǎn),點(diǎn)Q在⊙O上,求線段PQ的最大值.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)
【解析】
(1)因?yàn)橹睆?/span>CD垂直于不過圓心O的弦AB,垂足為點(diǎn)N,所以,所以∠CAE=∠ABC,因?yàn)?/span>AE=CE,所以∠CAE=∠ACE,所以∠ABC=∠ACE;
(2)連接OB,設(shè)∠CAE=∠ACE=∠ABC=x,通過計(jì)算可得∠PEB=∠PBE=2x,所以PB=PE;
(3)連接OP,證明△OBC和△PBE為等邊三角形,因?yàn)?/span>⊙O半徑為2,可得BN=3,NE=1,即PB=BE=4,在Rt△PBO中求得PO的長,即可得出PQ的最大值.
解:(1)證明:∵直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB,垂足為點(diǎn)N,
∴,
∴∠CAE=∠ABC,
∵AE=CE,
∴∠CAE=∠ACE,
∴∠ABC=∠ACE;
(2)如圖,連接OB,
∵過點(diǎn)B作⊙O的切線交EC的延長線于點(diǎn)P,
∴∠OBP=90°,
設(shè)∠CAE=∠ACE=∠ABC=x,
則∠PEB=2x,
∵OB=OC,AB⊥CD,
∴∠OBC=∠OCB=90°﹣x,
∴∠BOC=180°﹣2(90°﹣x)=2x,
∴∠OBE=90°﹣2x,
∴∠PBE=90°﹣(90°﹣2x)=2x,
∴∠PEB=∠PBE,
∴PB=PE;
(3)如圖,連接OP,
∵點(diǎn)N為OC中點(diǎn),AB⊥CD,
∴AB是CD的垂直平分線,
∴BC=OB=OC,
∴△OBC為等邊三角形,
∵⊙O半徑為,
∴CN=,
∵∠CAE=∠ACE=∠BOC=30°,
∴∠CEN=60°,∠PBE=2∠CAB=60°,
∴△PBE為等邊三角形,BN=3,NE=1,
∴PB=BE=BN+NE=3+1=4,
∴PO==,
∴PQ的最大值為PO+=+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線,它與軸和軸的正半軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn),且與關(guān)于直線對稱.(作圖不必寫作法,但要保留作圖痕跡.)
(2)請求出(1)中作出的直線的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,G為⊙O上一點(diǎn),連接AG交CD于K,在CD的延長線上取一點(diǎn)E,使EG=EK,EG的延長線交AB的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)連接DG,若AC∥EF時(shí).
①求證:△KGD∽△KEG;
②若,AK=,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l經(jīng)過A(6,0)和B(0,12)兩點(diǎn),且與直線y=x交于點(diǎn)C,點(diǎn)P(m,0)在x軸上運(yùn)動(dòng).
(1)求直線l的解析式;
(2)過點(diǎn)P作l的平行線交直線y=x于點(diǎn)D,當(dāng)m=3時(shí),求△PCD的面積;
(3)是否存在點(diǎn)P,使得△PCA成為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,直線MN交⊙O于A,B兩點(diǎn),AC是直徑,AD平分∠CAM交⊙O于D,過D作DE⊥MN于E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE=6cm,AE=3cm,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為﹣2,現(xiàn)將拋物線向右平移2個(gè)單位,得到拋物線y=a1x2+b1x+c1,則下列結(jié)論:①b>0;②a﹣b+c<0;③陰影部分的面積為4;④若c=﹣1,則b2=4a.其中正確的個(gè)數(shù)為( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在ABCD中,E、F分別是AD、BC上的點(diǎn),將平行四邊形ABCD沿EF所在直線翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,且點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處.
(1)求證:△A′ED≌△CFD;
(2)連結(jié)BE,若∠EBF=60°,EF=3,求四邊形BFDE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),過點(diǎn)B作CD的垂線,垂足為點(diǎn)E.
(1)求線段CD的長;
(2)求cos∠ABE的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,角α的兩邊與雙曲線y=(k<0,x<0)交于A、B兩點(diǎn),在OB上取點(diǎn)C,作CD⊥y軸于點(diǎn)D,分別交雙曲線y=、射線OA于點(diǎn)E、F,若OA=2AF,OC=2CB,則的值為______.
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