Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋5與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(5，0)，頂點(diǎn)為M．點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，且AC＝AB，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，3)，直線l經(jīng)過點(diǎn)C、D．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是直線l在第三象限上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP，且線段CP是線段CA、CB的比例中項(xiàng)，

求tan∠CPA的值；

（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)AM、BM，在直線PM上是否存在點(diǎn)E，使得∠AEM=∠AMB.若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】 （1）；（2） ；（3）E的坐標(biāo)為（-2，-4）或（4，-4）.

【解析】試題分析：（1）把A、B兩點(diǎn)帶入拋物線解析式，求得a、b的值，即可得到拋物線解析式；

（2）由AC=AB且點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，及線段CP是線段CA、CB的比例中項(xiàng)，可得CP=，

由兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似，可得△CPA∽△CBP，由此∠CPA= ∠CBP.

過P作PH⊥x軸于H，易得PH=4，H（-7，0），BH=12. 由于P（-7，-4），可求；

（3）分兩種情況：點(diǎn)E在M左側(cè)和點(diǎn)E在M右側(cè)討論即可.

試題解析：（1）∵ 拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（5，0），

∴,

解得

∴ 拋物線的解析式為 .

（2）∵ A（1，0），B（5，0），

∴ OA=1，AB=4.

∵ AC=AB且點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，

∴ AC=4 .

∴ CB=CA+AB=8.

∵ 線段CP是線段CA、CB的比例中項(xiàng)，

∴ .

∴ CP=.

又 ∵ ∠PCB是公共角，

∴ △CPA∽△CBP .

∴ ∠CPA= ∠CBP.

過P作PH⊥x軸于H.

∵ OC=OD=3，∠DOC=90°，

∴ ∠DCO=45°.∴ ∠PCH=45°

∴ PH=CH=CP=4，

∴ H（-7，0），BH=12，

∴ P（-7，-4），

∴，

tan∠CPA=.

（3） ∵ 拋物線的頂點(diǎn)是M（3，-4），

又 ∵ P（-7，-4），

∴ PM∥x軸 .

當(dāng)點(diǎn)E在M左， 則∠BAM=∠AME.

∵ ∠AEM=∠AMB，

∴ △AEM∽△BMA.

∴,

∴.

∴ ME=5，∴ E（-2，-4）.

過點(diǎn)A作AN⊥PM于點(diǎn)N，則N（1，-4）.

當(dāng)點(diǎn)E在M右側(cè)時(shí)，記為點(diǎn)，

∵ ∠AN=∠AEN，

∴ 點(diǎn)與E 關(guān)于直線AN對(duì)稱，則（4，-4）.

綜上所述，E的坐標(biāo)為（-2，-4）或（4，-4）.