Question

（1）直角三角形斜邊上的中線為1，周長為2+

6

，則它的面積是

 

．
（2）一個三角形的三邊長都是整數(shù)，周長為8，則這個三角形的面積是

 

．
（3）四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，則四邊形ABCD的面積是

 

．
（4）梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC與BD相交于O．若S_△ABO=p₂，S_△CDO=q₂，則S_ABCD=

 

．
（5）在△ABC中，D是AB的中點，E是AC上一點，

AE

EC

=

2

3

，S_△ABC=40．若BE，CD相交于F，則S_△DEF=

 

．

Answer 1

分析：（1）設直角三角形的兩直角邊分別等于x、y，由斜邊中線的長建立方程，求解x、y的值，進而即可得出三角形的面積；
（2）由三邊關系求出三邊的長，再由勾股定理求出三角形的高，進而可求其面積；
（3）兩個三角形全等，由邊角關系求出一個三角形的面積即可；
（4）S_△AOB+S_△COD=S_△AOD+S_△BOC，即可得出梯形的面積；
（5）過點B作BG∥AE，則△ADE≌△BGD，可得S_△ABE=S_△BEG，再根據(jù)△DEF∽△BEG即可求解．

解答：解：（1）設直角三角形的兩直角邊分別等于x、y，
∵直角三角形斜邊上的中線為1，
∴斜邊的長=2，
∴x+y=2+

6

-2=

6

①，
∴x²+y²=4②，
解關于①②的方程，得
x=

6 + 2

2

，y=

6 - 2

2

，
或y=

6 + 2

2

，x=

6 - 2

2

，
∴S_△=

1

2

xy=

1

2

×

6 + 2

2

×

6 - 2

2

=

1

2

；

（2）設這個三角形的三邊是a、b、c，
那么a+b+c=8，
又∵a、b、c是整數(shù)，a+b＞c，且a、b、c均小于4，
∴a=2，b=c=3，
如右圖所示，AD是底邊BC上的高，AB=AC=3，
S_△ABC=

1

2

BC×AD=

1

2

×2×

32-12

=2

2

；

（3）如右圖所示，
連接AC，則Rt△ACD≌Rt△ACB，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∵AC=1，∴CD=

1

2

，AD=

3

2

，
∴S_ABCD=2S_△ACD=2×

1

2

×

1

2

×

3

2

=

3

4

；

（4）如圖，
∵S_△AOB+S_△COD=S_△AOD+S_△BOC，
又S_△AOB=p₂，S_△COD=q₂，
∴S_梯形ABCD=2（p₂+q₂）；

（5）如圖，過點B作BG∥AE，則△ADE≌△BGD，∴S_△ABE=S_△BEG，
因為D為AB中點，所以D為AB中點，∴△DEF∽△BEG，
∵S_△ABC=40，

AE

EC

=

2

3

，∴S_△ABE=

2

5

×40=16，
∴S_△DEF=

1

4

×16=4．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的知識，難度較大，關鍵是掌握相似三角形的判定方法．