【題目】如圖,拋物線與軸交于兩點,與軸交于點,其對稱軸交拋物線于點,交軸于點,已知.
⑴求拋物線的解析式及點的坐標;
⑵連接為拋物線上一動點,當時,求點的坐標;
⑶平行于軸的直線交拋物線于兩點,以線段為對角線作菱形,當點在軸上,且時,求菱形對角線的長.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣6,D(2,﹣8);(2)F點的坐標為(7,)或(5,﹣);(3)菱形對角線MN的長為+1或﹣1.
【解析】試題分析:(1)由條件可求得B、C坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式,進一步可求得D點坐標;(2)過F作FG⊥x軸于點G,可設(shè)出F點坐標,利用△FAG∽△BDE,由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點坐標的方程,可求得F點的坐標;(3)可求得P點坐標,設(shè)T為菱形對角線的交點,設(shè)出PT的長為n,從而可表示出M點的坐標,代入拋物線解析式可得到n的方程,可求得n的值,從而可求得MN的長.
試題解析:
(1)∵OB=OC=6,
∴B(6,0),C(0,﹣6),
∴,解得,
∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣6,
∵y=x2﹣2x﹣6=(x﹣2)2﹣8,
∴點D的坐標為(2,﹣8);
(2)如圖1,過F作FG⊥x軸于點G,
設(shè)F(x,x2﹣2x﹣6),則FG=|x2﹣2x﹣6|,
在y=x2﹣2x﹣6中,令y=0可得x2﹣2x﹣6=0,解得x=﹣2或x=6,
∴A(﹣2,0),
∴OA=2,則AG=x+2,
∵B(6,0),D(2,﹣8),
∴BE=6﹣2=4,DE=8,
當∠FAB=∠EDB時,且∠FGA=∠BED,
∴△FAG∽△BDE,
∴ ,即=,
當點F在x軸上方時,則有,解得x=﹣2(舍去)或x=7,此進F點坐標為(7,);
當點F在x軸上方時,則有,得x=﹣2(舍去)或x=5,此進F點坐標為(5,﹣);
綜上可知F點的坐標為(7,)或(5,﹣);
(3)∵點P在x軸上,
∴由菱形的對稱性可知P(2,0),
如圖2,當MN在x軸上方時,設(shè)T為菱形對角線的交點,
∵PQ=MN,
∴MT=2PT,
設(shè)PT=n,則MT=2n,
∴M(2+2n,n),
∵M在拋物線上,
∴n=(2+2n)2﹣2(2+2n)﹣6,解得n=或n=,
∴MN=2MT=4n=+1;
當MN在x軸下方時,同理可設(shè)PT=n,則M(2+2n,﹣n),
∴﹣n=(2+2n)2﹣2(2+2n)﹣6,解得n=或n=(舍去),
∴MN=2MT=4n=﹣1;
綜上可知菱形對角線MN的長為+1或﹣1.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司為獎勵在趣味運動會上取得好成績的員工,計劃購買甲、乙兩種獎品共20件,其中甲種獎品每件40元,乙種獎品每件30元.
(1)如果購買甲、乙兩種獎品共花費了650元,求甲、乙兩種獎品各購買了多少件;
(2)如果購買乙種獎品的件數(shù)不超過甲種獎品件數(shù)的2倍,總花費不超過680元,求該公司有哪幾種不同的購買方案.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點在拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點的坐標為,直線交拋物線于另一點,過點作軸的垂線,垂足為,設(shè)拋物線與軸的正半軸交于點,連接,求證;
(3)如圖2,直線分別交軸,軸于兩點,點從點出發(fā),沿射線方向勻速運動,速度為每秒個單位長度,同時點從原點出發(fā),沿軸正方向勻速運動,速度為每秒1個單位長度,點是直線與拋物線的一個交點,當運動到秒時,,直接寫出的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm,則它的周長為( 。
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 12cm或15cm
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【題目】將9.52變形正確的是( 。
A. 9.52=92+0.52 B. 9.52=(10+0.5)(10﹣0.5)
C. 9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D. 9.52=92+9×0.5+0.52
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中線,AC=BC,一個以點D為頂點的45°角繞點D旋轉(zhuǎn),使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交,交點分別為點E,F(xiàn),DF與AC交于點M,DE與BC交于點N.
(1)如圖1,若CE=CF,求證:DE=DF;
(2)如圖2,在∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中:
①探究三條線段AB,CE,CF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
②若CE=4,CF=2,求DN的長.
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