Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝BC．點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)ED交AB于F，求證：

（1）EF⊥AB；（2）DE＝2DF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠E＝30°，求出∠BFE即可；

（2）連接BD，求出BD＝DE，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BD＝2DF，即可得出答案．

證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴AD＝CD＝AC，

∵CE＝BC，

∴CD＝CE，

∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，

∴∠E＝∠CDE＝30°，

∵∠B＝60°，

∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

即EF⊥AB；

（2）連接BD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝60°，

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，

∵∠E＝30°，

∴∠DBC＝∠E，

∴DE＝BD，

∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，

∴BD＝2DF，

即DE＝2DF．