Question

【題目】已知矩形ABCD，點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A恰好落在直線(xiàn)CD上點(diǎn)E處

(1) 如圖1，點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上，求證：AD＋DE＝2AB

(2) 如圖2，點(diǎn)E在線(xiàn)段CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且點(diǎn)D 為線(xiàn)段CE的中點(diǎn)，在線(xiàn)段BD上取點(diǎn)F，連接AF、PF，若AF=AB，求證：∠APF＝∠ADB

(3) 如圖3，點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上，連接BD．若AB＝2，BD∥PE，則DE＝___________ （直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】試題分析：（1）用同角的余角相等得出∠BAP=∠CPE，進(jìn)而判斷出△ABP≌△PCE，即可的得出AB=PC=CD，BP=CE，最后用相等的線(xiàn)段代換即可；
（2）先判斷出四邊形ABDE是平行四邊形則有BD∥AE，即可得到， 再判斷出，△APF≌△EPD，則有∠AFP=∠DEP，最后用三角形的外角和等角代換即可；
（3）先借助（1）的結(jié)論得出PC=AB=2, AD=4DE，再判斷出△CPE∽△CBD，則有最后代值解關(guān)于的方程即可．

試題解析：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴

∴

∵

∴

∴∠BAP=∠CPE，

在△ABP和△PCE中,

∴△ABP≌△PCE，

∴AB=PC=CD，BP=CE，

∴AD+DE=BC+DE=BP+PC+DE=CE+CP+DE=CP+CD=2AB；

(2)如圖,

∵AB=AF，

∴∠ABF=∠AFB，

∵AB∥DC，

∴∠ABF=∠BDC，

∴∠AFB=∠BDC，

∴∠AFD=∠EDF，

∵AB=CD=DE,AB∥CD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴BD∥AE，

∵

∴

∴

∵BD∥AE，

∴

∵∠AFD=∠EDF，

∴∠FAE=∠DEA，

∵∠PAE=∠PEA，

∴∠FAP=∠DEP，

在△APF和△EPD中,

∴△APF≌△EPD，

∴∠AFP=∠DEP，

∵∠AFD=∠EDF，

∴∠PFD=∠PDF，

在Rt△PCD中，PC=PD，

∴ ∴

∴

∵

∴

∴∠APF=∠ADB；

(3)由(1)知,△ABP≌△PCE，

∴PC=AB=2,由(1)知，AD+DE=2AB=4，

∴AD=4DE，

∵DB∥PE，

∴△CPE∽△CBD，

∴

∵CB=AD=4DE，CD=AB=2，CE=CDDE=2DE，

∴

∴ (由于點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上,且CD=2,所以舍去)或

即：

故答案為：