Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)AB=4 ，∠C=30°時(shí)，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號(hào)和π）．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，D是AC的中點(diǎn)，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∵點(diǎn)D在圓上，

∴DE為⊙O的切線

（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD，垂足為F，

∵OD∥BC，∠C=∠ODF=30°，

∴∠ADO=30°，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA=30°，

∴∠A=∠C，

∴AB=BC=4 ，

∴OD=2 ，∠AOD=120°，OF= ，

∴AF=3，AD=6，

∴S△AOD= ADOF= ×6× =3 ，

∴陰影部分面積S= ﹣3 =4

【解析】（1）連接OD，利用平行線的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，從而判斷DE是圓的切線；（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD，垂足為F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AOD=120°，然后求得陰影部分面積即可．
【考點(diǎn)精析】利用切線的判定定理和扇形面積計(jì)算公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．