【題目】已知,如圖,在平面直角坐標系中,直線 與軸交于點A,與軸交于點B,拋物線經(jīng)過A、B兩點,與軸的另一個交點為C.
(1)直接寫出點A和點B的坐標;
(2)求拋物線的函數(shù)解析式;
(3)D為直線AB下方拋物線上一動點;
①連接DO交AB于點E,若DE:OE=3:4,求點D的坐標;
②是否存在點D,使得∠DBA的度數(shù)恰好是∠BAC度數(shù)2倍,如果存在,求點D 的坐標,如果不存在,說明理由.
【答案】(1)A(-4,0)、B(0,-2);(2);(3)①(-1,3)或(-3,-2);②(-2,-3).
【解析】
(1)在中由求出對應(yīng)的x的值,由x=0求出對應(yīng)的y的值即可求得點A、B的坐標;
(2)把(1)中所求點A、B的坐標代入中列出方程組,解方程組即可求得b、c的值,從而可得二次函數(shù)的解析式;
(3)①如圖,過點D作x軸的垂線交AB于點F,連接OD交AB于點E,由此易得△DFE∽OBE,這樣設(shè)點D的坐標為,點F的坐標為,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和DE:OE=3:4,即可列出關(guān)于m的方程,解方程求得m的值即可得到點D的坐標;
②在y軸的正半軸上截取OH=OB,可得△ABH是等腰三角形,由此可得∠HAB=2∠BAC,若此時∠DAB =2∠BAC=∠HAB,則BD∥AH,再求出AH的解析式可得BD的解析式,由BD的解析式和拋物線的解析式聯(lián)立構(gòu)成方程組,解方程組即可求得點D的坐標.
解:(1)在中,由可得:,解得:;
由可得:,
∴點A的坐標為(-4,0),點B的坐標為(0,-2);
(2)把點A的坐標為(-4,0),點B的坐標為(0,-2)代入得:
,解得: ,
∴拋物線的解析式為:;
(3)①過點D作x軸的垂線交AB于點F,
設(shè)點D,F(xiàn),
連接DO交AB于點E,△DFE∽OBE,
因為DE:OE=3:4,
所以FD:BO=3:4,
即:FD=BO= ,
所以,
解之得: m1=-1,m2=-3 ,
∴D的坐標為(-1,3)或(-3,-2);
②在y軸的正半軸上截取OH=OB,可得△ABH是等腰三角形,
∴∠BAH=2∠BAC,
若∠DBA=2∠BAC,則∠DBA=∠BAH,
∴AH//DB,
由點A的坐標(-4,0)和點H的坐標(0,2)求得直線AH的解析式為:,
∴直線DB的解析式是:,
將:聯(lián)立可得方程組:,
解得: ,
∴點D的坐標(-2,-3).
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【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn)
如圖①,在五邊形中,,,試猜想之間的數(shù)量關(guān)系,小明經(jīng)過仔細思考,得到如下解題思路:將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至,由,得,即點三點共線,易證,故之間的數(shù)量關(guān)系是________;
(2)類比探究
如圖②,在四邊形中,,,點分別在邊的延長線上,,連接,試猜想之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明;
(3)拓展延伸
如圖③,在中,,,點均在邊上,且,若,則的長為________.
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【題目】如圖,已知BCAC,圓心O在AC上,點M與點C分別是AC與⊙O的交點,點D是MB與⊙O的交點,點P是AD延長線與BC的交點,且ADAOAMAP,連接OP.
(1)證明:MD//OP;
(2)求證:PD是⊙O的切線;
(3)若AD24,AMMC,求的值.
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【題目】如圖1 ,用籬笆靠墻圍成矩形花圃ABCD ,墻可利用的最大長度為15m,一面利用舊墻 ,其余三面用籬笆圍,籬笆總長為24m,設(shè)平行于墻的BC邊長為x m
(1)若圍成的花圃面積為40m2時,求BC的長
(2)如圖2,若計劃在花圃中間用一道籬笆隔成兩個小矩形,且圍成的花圃面積為50m2,請你判斷能否成功圍成花圃,如果能,求BC的長?如果不能,請說明理由.
(3)如圖3,若計劃在花圃中間用n道籬笆隔成小矩形,且當(dāng)這些小矩形為正方形時,請列出x、n滿足的關(guān)系式
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【題目】如圖,將二次函數(shù)y= (x-2)2+1的圖像沿y軸向上平移得到一條新的二次函數(shù)圖像,其中A(1,m),B(4,n)平移后對應(yīng)點分別是A′、B′,若曲線AB所掃過的面積為12(圖中陰影部分),則新的二次函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)表達是__________________.
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【題目】將圖中的A型、B型、C型矩形紙片分別放在3個盒子中,盒子的形狀、大小、質(zhì)地都相同,再將這3個盒子裝入一只不透明的袋子中.
(1)攪勻后從中摸出1個盒子,求摸出的盒子中是型矩形紙片的概率;
(2)攪勻后先從中摸出1個盒子(不放回),再從余下的兩個盒子中摸出一個盒子,求2次摸出的盒子的紙片能拼成一個新矩形的概率(不重疊無縫隙拼接).
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【題目】有甲、乙兩個不透明的布袋,甲袋中有兩個完全相同的小球,分別標有數(shù)字﹣1和3;乙袋中有三個完全相同的小球,分別標有數(shù)字1、0和﹣3.小麗先從甲袋中隨機取出一個小球,記錄下小球上的數(shù)字為x;再從乙袋中隨機取出一個小球,記錄下小球上的數(shù)字為y,設(shè)點A的坐標為(x,y).
(1)請用表格或樹狀圖列出點A所有可能的坐標;
(2)求點A在反比例函數(shù)y=圖象上的概率.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm.點D在AC上,AD=1cm,點P從點A出發(fā),沿AB勻速運動;點Q從點C出發(fā),沿C→B→A→C的路徑勻速運動.兩點同時出發(fā),在B點處首次相遇后,點P的運動速度每秒提高了2cm,并沿B→C→A的路徑勻速運動;點Q保持速度不變,并繼續(xù)沿原路徑勻速運動,兩點在D點處再次相遇后停止運動,設(shè)點P原來的速度為xcm/s.
(1)點Q的速度為 cm/s(用含x的代數(shù)式表示).
(2)求點P原來的速度.
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【題目】某校組織學(xué)生書法比賽,對參賽作品按A、B、C、D四個等級進行了評定.現(xiàn)隨機取部分學(xué)生書法作品的評定結(jié)果進行分析,并繪制扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖如下:
根據(jù)上述信息完成下列問題:
(1)求這次抽取的樣本的容量;
(2)請在圖②中把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)已知該校這次活動共收到參賽作品750份,請你估計參賽作品達到B級以上(即A級和B級)有多少份?
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