【題目】已知拋物線C1:y=ax2+bx+(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和B(3,0).
(1)求拋物線C1的解析式,并寫出其頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖1,把拋物線C1沿著直線AC方向平移到某處時(shí)得到拋物線C2,此時(shí)點(diǎn)A,C分別平移到點(diǎn)D,E處.設(shè)點(diǎn)F在拋物線C1上且在x軸的下方,若△DEF是以EF為底的等腰直角三角形,求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)如圖2,在(2)的條件下,設(shè)點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),EN⊥EM交直線BF于點(diǎn)N,點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí):
①tan∠ENM的值如何變化?請(qǐng)說明理由;
②點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí),直接寫出點(diǎn)P經(jīng)過的路線長(zhǎng).
【答案】(1),頂點(diǎn)C(1,2);(2)F(﹣3,﹣6);(3)①tan∠ENM=2,是定值,不發(fā)生變化;②.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式,把解析式化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)根據(jù)A、C的坐標(biāo)求得直線AC的解析式為y=x+1,根據(jù)題意求得EF=4,求得EF∥y軸,設(shè)F(m,-m2+m+),則E(m,m+1),從而得出(m+1)-(-m2+m+)=4,解方程即可求得F的坐標(biāo);
(3)①先求得四邊形DFBC是矩形,作EG⊥AC,交BF于G,然后根據(jù)△EGN∽△EMC,對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得tan∠ENM==2;
②根據(jù)勾股定理和三角形相似求得EN=,然后根據(jù)三角形中位線定理即可求得.
試題解析:(1)∵拋物線C1:y=ax2+bx+(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和B(3,0),
∴解得,
∴拋物線C1的解析式為y=-x2+x+,
∵y=-x2+x+=-(x-1)2+2,
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2);
(2)如圖1,作CH⊥x軸于H,
∵A(-1,0),C(1,2),
∴AH=CH=2,
∴∠CAB=∠ACH=45°,
∴直線AC的解析式為y=x+1,
∵△DEF是以EF為底的等腰直角三角形,
∴∠DEF=45°,
∴∠DEF=∠ACH,
∴EF∥y軸,
∵DE=AC=2,
∴EF=4,
設(shè)F(m,-m2+m+),則E(m,m+1),
∴(m+1)-(-m2+m+)=4,
解得m=3(舍)或m=-3,
∴F(-3,-6);
(3)①tan∠ENM的值為定值,不發(fā)生變化;
如圖2,
∵DF⊥AC,BC⊥AC,
∴DF∥BC,
∵DF=BC=AC,
∴四邊形DFBC是矩形,
作EG⊥AC,交BF于G,
∴EG=BC=AC=2,
∵EN⊥EM,
∴∠MEN=90°,
∵∠CEG=90°,
∴∠CEM=∠NEG,
∴△ENG∽△EMC,
∴,
∵F(-3,-6),EF=4,
∴E(-3,-2),
∵C(1,2),
∴EC==4,
∴=2,
∴tan∠ENM==2;
∵tan∠ENM的值為定值,不發(fā)生變化;
②點(diǎn)P經(jīng)過的路徑是線段P1P2,如圖3,
∵四邊形BCEG是矩形,GP2=CP2,
∴EP2=BP2,
∵△EGN∽△ECB,
∴,
∵EC=4,EG=BC=2,
∴EB=2,
∴,
∴EN=,
∵P1P2是△BEN的中位線,
∴P1P2=EN=;
∴點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P經(jīng)過的路線長(zhǎng)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD中,點(diǎn)P是CD的中點(diǎn),∠BCD=60°,射線AP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,射線BP交DE于點(diǎn)K,點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),作BM⊥AE于點(diǎn)M,作KN⊥AE于點(diǎn)N,連結(jié)MO、NO,以下四個(gè)結(jié)論:①△OMN是等腰三角形;②tan∠OMN=;③BP=4PK;④PMPA=3PD2,其中正確的是( 。
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
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【題目】一棵新栽的樹苗高1米,若平均每年都長(zhǎng)高5厘米.請(qǐng)寫出樹苗的高度y(cm)與時(shí)間x(年)之間的函數(shù)關(guān)系式: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)24 000個(gè)零件.若每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)30個(gè)零件,則在規(guī)定時(shí)間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個(gè)零件.
(1)求原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)和規(guī)定的天數(shù);
(2)為了提前完成生產(chǎn)任務(wù),工廠在安排原有工人按原計(jì)劃正常生產(chǎn)的同時(shí),引進(jìn)5組機(jī)器人生產(chǎn)流水線共同參與零件生產(chǎn),已知每組機(jī)器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)比20個(gè)工人原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件總數(shù)還多20%.按此測(cè)算,恰好提前兩天完成24 000個(gè)零件的生產(chǎn)任務(wù),求原計(jì)劃安排的工人人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線y=m是平行于X軸的直線,將拋物線y=-x2-4x在直線y=m上側(cè)的部分沿直線 y=m翻折,翻折后的部分與沒有翻折的部分組成新的函數(shù)圖像,若新的函數(shù)圖像剛好與 直線y=-x有3個(gè)交點(diǎn),則滿足條件的m 的值為_________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,BC邊上的高AD=6,E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn),在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中,存在EB+EF的最小值,則這個(gè)最小值是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是根據(jù)九年級(jí)某班50名同學(xué)一周的鍛煉情況繪制的條形統(tǒng)計(jì)圖,下面關(guān)于該班50名同學(xué)一周鍛煉時(shí)間的說法錯(cuò)誤的是( )
A. 中位數(shù)是6.5 B. 平均數(shù)高于眾數(shù)
C. 極差為3 D. 平均每周鍛煉超過6小時(shí)的人占總數(shù)的一半
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( )
A.a3·a2=a6
B.(a2)3=a6
C.(2a2)3=6a6
D.(-2a3)2=-4a6
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