【題目】如圖1,等邊OAB的頂點Ax軸的負半軸上,點B(a,b)在第二象限內(nèi),且a,b滿足.Py軸上的一個動點,以PA為邊作等邊PAC,直線BCx軸于點M,交y軸于點D.

(1)求點A的坐標;

(2)如圖2,當點Py軸正半軸上時,求點M的坐標;

(3)如圖3,當點Py軸負半軸上時,求出OP,CD,AD滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)A(-4,0);(2)M(4,0);(3)OP= CD+AD,證明見解析.

【解析】

(1)如圖1中,作BNAON.由非負數(shù)的性質(zhì)求出點B坐標即可解決問題;

(2)只要證明△ABC≌△AOP得出∠ABC=∠AOP=90°,在RtABM中,解直角三角形即可解決問題;

(3)如圖3中,取AD的中點R,連接BR、OR.首先證明A、B、D、O四點共圓,推出∠BAD=BOD=90°-60°=30°,可得BD=AD,再證明OAP≌△BAC,可得OP=BC=CD+BD=CD+AD.

(1)如圖1中,作BNAON.

,

a=-2,b=2,

B(-2,2),

BA=BO,BNOA,

NA=NO=2,

OA=4,

A(-4,0).

(2) 如圖2中,

∵△ABO,APC都是等邊三角形,

∴∠OAB=PAC,OA=OB,AP=AC,

∴∠OAP=BAC,

∴△OAP≌△BAC,

∴∠AOP=CBA=90°,

RtABM中,∵∠ABM=90°,AB=OA=4,BAM=60°,

AM=2AB=8,

OM=AM-OA=4,

M(4,0).

(3) 結(jié)論:OP=CD+AD.

理由:如圖3中,取AD的中點R,連接BR、OR.

∵∠ABD=AOD=90°,AR=DR,

BR=AR=RD=OR,

A、B、E、O四點共圓,

∴∠BAD=BOD=90°-60°=30°,

BD=AD,

∵△ABO,APC都是等邊三角形,

∴∠OAB=PAC,OA=OB,AP=AC,

∴∠OAP=BAC,

∴△OAP≌△BAC,

OP=BC=CD+BD=CD+AD.

OP=CD+AD.

練習冊系列答案
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