【題目】問題呈現(xiàn):

如圖1,O是RtABC的外接圓,ABC=90°,弦BD=BA,BEDC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:BE是O的切線.

問題分析:

連接OB,要證明BE是O的切線,只要證明OB ____ BE,由題意知E=90°,故只需證明OB ___ DE.

解法探究:

(1)小明對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了如下探索,請(qǐng)補(bǔ)全他的證明思路:

如圖2,連接AD,由ECB是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角,可證ECB=BAD,因?yàn)镺B=OC,所以 __ ,因?yàn)锽D=BA,所以 ______ ,利用同弧所對(duì)的圓周角相等和等量代換,得到 ____ ,所以DEOB,從而證明出BE是O的切線.

(2)如圖3,連接AD,作直徑BF交AD于點(diǎn)H,小麗發(fā)現(xiàn)BFAD,請(qǐng)說明理由.

(3)利用小麗的發(fā)現(xiàn),請(qǐng)證明BE是O的切線.(要求給出兩種不同的證明方法).

【答案】問題分析:,(1)CBO=BCO,BAD=BDA,ECB=CBO(2)BFAD(3)證明見解析

【解析】

試題分析:問題分析:直接得出結(jié)論即可;

解法探究:(1)根據(jù)證明方法直接寫出結(jié)論;

(2)先判斷出OD=OA,再用垂徑定理即可得出結(jié)論;

(3)方法1,先判斷出AC是O的直徑,進(jìn)而判斷出四邊形BEDH是矩形即可;

方法2,先判斷出AH=DH,再判斷出AC是O的直徑,進(jìn)而判斷出OH是ACD的中位線,即可得出DEOB,即可得出結(jié)論;

試題解析:問題分析:

故答案為:,

解法探究:

(1)故答案為:CBO=BCO,BAD=BDA,ECB=CBO;

(2)如圖3,

連接OD,

OD=OA,

BD=BA,

BF垂直平分AD,

即:BFAD(垂徑定理),

(3)方法1,BFAD,

∴∠BHD=90°,

∵∠ABC=90°,

AC是O的直徑,

∴∠ADC=90°,

∵∠E=90°,

四邊形BEDH是矩形,

∴∠EBO=90°,

BE是O的切線;

方法2,BFAD,

AH=DH(垂徑定理),

∵∠ABC=90°,

AC是O的直徑,

AO=CO,

OH是ACD的中位線,

OHDC,

即:DEOB,

∵∠E=90°,

∴∠EBO=90°,

BE是O的切線.

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