【題目】12分)理數(shù)學興趣小組在探究如何求tan15°的值,經(jīng)過思考、討論、交流,得到以下思路:

思路一 如圖1,在RtABC中,C=90°ABC=30°,延長CB至點D,使BD=BA,連接AD.設AC=1,則BD=BA=2BC=tanD=tan15°===

思路二 利用科普書上的和(差)角正切公式:tanα±β=.假設α=60°,β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan60°﹣45°===

思路三 在頂角為30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以

思路四

請解決下列問題(上述思路僅供參考).

1)類比:求出tan75°的值;

2)應用:如圖2,某電視塔建在一座小山上,山高BC30米,在地平面上有一點A,測得A,C兩點間距離為60米,從A測得電視塔的視角(∠CAD)為45°,求這座電視塔CD的高度;

3)拓展:如圖3,直線與雙曲線交于A,B兩點,與y軸交于點C,將直線AB繞點C旋轉(zhuǎn)45°后,是否仍與雙曲線相交?若能,求出交點P的坐標;若不能,請說明理由.

【答案】1;(2;(3)能相交,P﹣1,﹣4)或(3).

【解析】試題分析:(1)如圖1,只需借鑒思路一或思路二的方法,就可解決問題;

2)如圖2,在Rt△ABC中,由勾股定理求出AB,由三角函數(shù)得出∠BAC=30°.從而得到∠DAB=75°.在Rt△ABD中,由三角函數(shù)就可求出DB,從而求出DC長;

3)分類種情況討論:若直線AB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°后,與雙曲線相交于點P,如圖3.過點CCDx軸,過點PPECDE,過點AAFCDF,可先求出點A、B、C的坐標,從而求出tanACF的值,進而利用和(差)角正切公式求出tanPCE=tan45°+ACF)的值,設點P的坐標為(a,b),根據(jù)點P在反比例函數(shù)的圖象上及tanPCE的值,可得到關于a、b的兩個方程,解這個方程組就可得到點P的坐標;若直線AB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°后,與x軸相交于點G,如圖4,由可知ACP=45°,P,3),則有CPCG.過點PPHy軸于H,易證GOC∽△CHP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出GO,從而得到點G的坐標,然后用待定系數(shù)法求出直線CG的解析式,然后將直線CG與反比例函數(shù)的解析式組成方程組,消去y,得到關于x的方程,運用根的判別式判定,得到方程無實數(shù)根,此時點P不存在.

試題解析:(1)方法一:如圖1,在RtABC中,C=90°,ABC=30°,延長CB至點D,使BD=BA,連接AD.設AC=1,則BD=BA=2,BC=tanDAC=tan75°====;

方法二:tan75°=tan45°+30°====

2)如圖2,在RtABC中,AB===,sinBAC=,即BAC=30°∵∠DAC=45°∴∠DAB=45°+30°=75°.在RtABD中,tanDAB=,DB=ABtanDAB==DC=DB﹣BC==

答:這座電視塔CD的高度為()米;

3若直線AB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°后,與雙曲線相交于點P,如圖3.過點CCDx軸,過點PPECDE,過點AAFCDF.解方程組: ,得: ,A4,1),點B﹣2,﹣2).對于,當x=0時,y=﹣1,則C0,﹣1),OC=1,CF=4AF=1﹣﹣1=2,tanACF=,tanPCE=tanACP+ACF=tan45°+ACF===3,即=3.設點P的坐標為(a,b),則有: ,

解得: P的坐標為(﹣1,﹣4)或(3);

若直線AB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°后,與x軸相交于點G,如圖4.由可知ACP=45°,P,3),則CPCG.過點PPHy軸于H,則GOC=CHP=90°,GCO=90°﹣HCP=CPH∴△GOC∽△CHP,CH=3﹣﹣1=4PH=,OC=1,GO=3,G﹣30).設直線CG的解析式為,則有: ,解得: ,直線CG的解析式為.聯(lián)立: ,消去y,得: ,整理得: ,∵△=,方程沒有實數(shù)根,P不存在.

綜上所述:直線AB繞點C旋轉(zhuǎn)45°后,能與雙曲線相交,交點P的坐標為(﹣1,﹣4)或(,3).

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