【題目】已知,△ABC是邊長3cm的等邊三角形.動點P以1cm/s的速度從點A出發(fā),沿線段AB向點B運動.
(1)如圖1,設(shè)點P的運動時間為t(s),那么t= (s)時,△PBC是直角三角形;
(2)如圖2,若另一動點Q從點B出發(fā),沿線段BC向點C運動,如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā).設(shè)運動時間為t(s),那么t為何值時,△PBQ是直角三角形?
(3)如圖3,若另一動點Q從點C出發(fā),沿射線BC方向運動.連接PQ交AC于D.如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā).設(shè)運動時間為t(s),那么t為何值時,△DCQ是等腰三角形?
(4)如圖4,若另一動點Q從點C出發(fā),沿射線BC方向運動.連接PQ交AC于D,連接PC.如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā).請你猜想:在點P、Q的運動過程中,△PCD和△QCD的面積有什么關(guān)系?并說明理由.
【答案】(1);(2)t=1或2(s);(3)t=1(s);(4)面積相等,理由見解析
【解析】
(1)當△PBC是直角三角形時,∠B=60°,所以BP=1.5cm,即可算出t的值;
(2)因為∠B=60°,可選取∠BPQ=90°或∠BQP=90°,然后根據(jù)勾股定理計算出BP長,即可算出t的大。
(3)因為∠DCQ=120°,當△DCQ是等腰三角形時,CD=CQ,然后可證明△APD是直角三角形,即可根據(jù)題意求出t的值;
(4)面積相等.可通過同底等高驗證.
解:(1)當△PBC是直角三角形時,∠B=60°,
∠BPC=90°,所以BP=1.5cm,
所以t=.
(2)當∠BPQ=90°時,BP=0.5BQ,
3﹣t=0.5t,所以t=2;
當∠BQP=90°時,BP=2BQ,
3﹣t=2t,所以t=1;
所以t=1或2(s);
(3)因為∠DCQ=120°,當△DCQ是等腰三角形時,CD=CQ,
所以∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°,
又因為∠A=60°,
所以AD=2AP,2t+t=3,
解得t=1(s);
(4)相等,如圖所示:
作PE⊥AD于E,QG⊥AD延長線于G,則PE∥QG,則易知∠G=∠AEP,∠A=∠ACB=∠QCG=60°,
在△EAP和△GCQ中,
因為,
所以△EAP≌△GCQ(AAS),
所以PE=QG,所以,△PCD和△QCD同底等高,所以面積相等.
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【題目】為進一步普及我市中小學生的法律知識,提升學生法律意識,在2018年12月4日第五個國家憲法日來臨之際,我市某區(qū)在中小學舉行了“學習憲法”知識競賽活動,各類獲獎學生人數(shù)的比例情況如圖所示,其中獲得優(yōu)勝獎的學生共400名,請結(jié)合圖中信息,解答下列問題:
(1)求獲得一等獎的學生人數(shù);
(2)在本次知識競賽活動中,A,B,C,D四所學校表現(xiàn)突出,現(xiàn)決定從這四所學校中隨機選取兩所學校舉行一場法律知識搶答賽,請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到A,B兩所學校的概率.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線l過點C,BD⊥l,AE⊥l,垂足分別為D、E.
(1)當直線l不與底邊AB相交時,求證:ED=AE+BD;
(2)如圖2,將直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn),使l與底邊AB相交時,請你探究ED、AE、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】如圖,在△ABC 中,AB=4,BC=6,∠B=60°,將△ABC沿著射線BC 的方向平移 2 個單位后,得到△△A′B′C′,連接 A′C,則△A′B′C 的周長為__________ .
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【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,沿過B點的一條直線BE折疊這個三角形, 使C點與AB邊上的一點D重合.
(1)當∠A滿足什么條件時,點D恰為AB的中點?寫出一個你認為適當?shù)臈l件,并利用此條件證明D為AB的中點;
(2)在(1)的條件下,若DE=1,求△ABC的面積.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D是AB邊的中點,過D作DE⊥BC于點E,點P是邊BC上的一個動點,AP與CD相交于點Q.當AP+PD的值最小時,AQ與PQ之間的數(shù)量關(guān)系是( )
A.AQ= PQ
B.AQ=3PQ
C.AQ= PQ
D.AQ=4PQ
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【題目】如圖,等邊△ABC的邊長是2,D、E分別為AB、AC的中點,延長BC至點F,使CF=BC,連接CD和EF.
(1)求證:DE=CF;
(2)求EF的長.
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【題目】某電器商場銷售A,B兩種型號計算器,兩種計算器的進貨價格分別為每臺30元,40元. 商場銷售5臺A型號和1臺B型號計算器,可獲利潤76元;銷售6臺A型號和3臺B型號計算器,可獲利120元.
(1)求商場銷售A,B兩種型號計算器的銷售價格分別是多少元?(利潤=銷售價格﹣進貨價格)
(2)商場準備用不多于2500元的資金購進A,B兩種型號計算器共70臺,問最少需要購進A型號的計算器多少臺?
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