Question

已知二次函數y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過三點（1，0），（-3，0），（0，-）．
（1）求二次函數的解析式，并在給定的直角坐標系中作出這個函數的圖象；
（2）若反比例函數y₂=（x＞0）的圖象與二次函數y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象在第一象限內交于點A（x，y），x落在兩個相鄰的正整數之間，請你觀察圖象，寫出這兩個相鄰的正整數；
（3）若反比例函數y₂=（x＞0，k＞0）的圖象與二次函數y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象在第一象限內的交點A，點A的橫坐標x滿足2＜x＜3，試求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線與x軸的交點，可用交點式來設二次函數的解析式．然后將另一點的坐標代入即可求出函數的解析式．
（2）可根據（1）的拋物線的解析式和反比例函數的解析式來聯立方程組，求出的方程組的解就是兩函數的交點坐標，然后找出第一象限內交點的坐標，即可得出符合條件的x的值，進而可寫出所求的兩個正整數．
（3）點A的橫坐標x滿足2＜x＜3，可通過x=2，x=3兩個點上拋物線與反比例函數的大小關系即可求出k的取值范圍．
解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x-1）（x+3），
將（0，-）代入，解得a=．
∴拋物線解析式為y=x²+x-．


（2）正確的畫出反比例函數在第一象限內的圖象，
由圖象可知，交點的橫坐標x落在1和2之間，從而得出這兩個相鄰的正整數為1與2．

（3）由函數圖象或函數性質可知：當2＜x＜3時，
對y₁=x²+x-，y₁隨著x增大而增大，
對y₂=（k＞0），y₂隨著x的增大而減�。�
因為A（x，y）為二次函數圖象與反比例函數圖象的交點，
所以當x=2時，由反比例函數圖象在二次函數上方得y₂＞y₁，
即＞×2²+2-，
解得k＞5．
同理，當x=3時，由二次函數圖象在反比例上方得y₁＞y₂，
即×3²+3-＞，
解k＜18，
所以K的取值范圍為5＜k＜18．
點評：本題主要考查了二次函數和反比例函數的相關知識以及在直角坐標系中作圖、讀圖的能力．