Question

已知在矩形ABCD中，AD＞AB，O為對角線的交點，過O作一直線分別交BC、AD于M、N．
（1）如圖①，求證：梯形ABMN的面積等于梯形CDNM的面積；
（2）如圖②，若矩形ABCD沿MN折疊，能使得點C與點A重合，且翻折后不重疊部分的面積是重疊部分的面積的

1

2

，求BM：MC的值；
（3）矩形ABCD沿MN折疊，當(dāng)MN滿足

 

時，才能使得點C恰好與點A重合（只寫出結(jié)果，不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）連接AC，根據(jù)矩形的對角線互相平分可得AO=CO，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠MCO=∠ANO，然后利用“角邊角”證明△AON和△COM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=CM，再求出BM=DN，然后根據(jù)梯形的面積公式證明即可；
（2）連接AM，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AM=MC，AD′=CD，∠AMN=∠CMN，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ANM=∠CMN，然后求出∠AMN=∠ANM，根據(jù)等角對等邊可得AM=AN，利用“HL”證明△ABM和△AD′N全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S_△AD′N=S_△ABM，再根據(jù)三角形的面積求出BM=

1

2

AN，然后求解即可；
（3）根據(jù)翻折的性質(zhì)，MN與AC互相垂直時點C與A重合．

解答：（1）證明：如圖，連接AC，∵O為對角線的交點，
∴AO=CO，
∵矩形ABCD的邊AD∥BC，
∴∠MCO=∠ANO，
在△AON和△COM中，

∠MCO=∠ANO AO=CO ∠AON=∠COM

，
∴△AON≌△COM（ASA），
∴AN=CM，
∵AD=BC，
AN+DN=AD，BM+CM=BC，
∴BM=DN，
∵梯形ABMN的面積=

1

2

（AN+BM）•AB，
梯形CDNM的面積=

1

2

（DN+CM）•CD，
∴梯形ABMN的面積等于梯形CDNM的面積；

（2）如圖，連接AM，∵矩形ABCD沿MN折疊，點C與點A重合，
∴AM=MC，AD′=CD，∠AMN=∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
在△ABM和△AD′N中，

AM=AN AB=AD′

，
∴△ABM≌△AD′N（HL），
∴S_△AD′N=S_△ABM，
∵翻折后不重疊部分的面積是重疊部分的面積的

1

2

，
∴

1

2

AB•BM=

1

2

×

1

2

AN•AB，
∴BM=

1

2

AN，
∵AM=MC=AN，
∴BM：MC=1：2；

（3）當(dāng)MN滿足MN⊥AC時，才能使得點C恰好與點A重合．
故答案為：MN⊥AC．

點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟記翻折前后的兩個圖形能夠完全重合得到相等的邊和角是解題的關(guān)鍵．