Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)A方向移動，同時點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度移動，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)E移動的時間為t（秒）．
（1）求當(dāng)t為何值時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動；
（2）設(shè)四邊形BCFE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）求當(dāng)t為何值時，以E，F(xiàn)，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；
（4）求當(dāng)t為何值時，∠BEC=∠BFC．

Answer 1

分析：（1）B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，滿足△FED∽△FBC，結(jié)合行程問題可以得出關(guān)于t的比例式，求出t的值；
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，可以將四邊形BCFE的面積分成S_△BCE，S_△BCF兩部分，結(jié)合（1）確定t的取值范圍；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分EF=EC，EC=FC，EF=FC三種情況討論；
（4）∠BEC=∠BFC．可以轉(zhuǎn)化為∠BEC=∠BCE．即BE=BC．得出關(guān)于t的方程，求出值．

解答：解：（1）當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，如圖所示．（1分）
由題意可知：ED=t，BC=8，F(xiàn)D=2t-4，F(xiàn)C=2t．
∵ED∥BC，
∴△FED∽△FBC．
∴

FD

FC

=

ED

BC

．
∴

2t-4

2t

=

t

8

．
解得t=4．
∴當(dāng)t=4時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動；（3分）

（2）∵ED=t，CF=2t，
∴S=S_△BCE+S_△ECF=

1

2

×8×4+

1

2

×2t×t=16+t²．
即S=16+t²．（0≤t＜4）；（6分）

（3）①若EF=EC時，則點(diǎn)F只能在CD的延長線上，
∵EF²=（2t-4）²+t²=5t²-16t+16，
EC²=4²+t²=t²+16，
∴5t²-16t+16=t²+16．
∴t=4或t=0（舍去）；
②若EC=FC時，
∵EC²=4²+t²=t²+16，F(xiàn)C²=4t²，
∴t²+16=4t²
．∴t=

4

3

3

；
③若EF=FC時，
∵EF²=（2t-4）²+t²=5t²-16t+16，F(xiàn)C²=4t²，
∴5t²-16t+16=4t²．
∴t₁=8+4

3

（舍去），t₂=8-4

3

．
∴當(dāng)t的值為4，

4

3

3

，8-4

3

時，以E，F(xiàn)，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；（9分）

（4）在Rt△BCF和Rt△CDE中，
∵∠BCF=∠CDE=90°，

BC

CD

=

CF

ED

=2，
∴Rt△BCF∽Rt△CDE．
∴∠BFC=∠CED．                                     （10分）
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，則∠BEC=∠BCE．即BE=BC．
∵BE²=t²-16t+80，
∴t²-16t+80=64．
∴t₁=8+4

3

（舍去），t₂=8-4

3

．
∴當(dāng)t=8-4

3

時，∠BEC=∠BFC．                                       （12分）

點(diǎn)評：本題數(shù)形結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，將行程問題與矩形有機(jī)的整合，有一定的思維容量．