Question

【題目】如圖，B、D為線段AH上兩點(diǎn)，△ABC、△BDE和△DGH都是等邊三角形，連結(jié)CE并延長交AH的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G恰好在CF上，△ABC的外接圓⊙O交CF于點(diǎn)M．

（1）求證：AC 2=CMCF；
（2）若CM= ，MF= ，求圓O的半徑長；
（3）設(shè)等邊△ABC、△BDE、△DGH的面積分別為S1、S2、S3 ， 請直接寫出S1、S2、S3之間的等量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結(jié)MB，則∠CMB=180°﹣∠A=120°，

∵∠CBF=60°+60°=120°，

∴∠CMB=∠CBF，

∵∠BCM=∠FCB，

∴△CMB∽△CBF，

∴ ，即CB2=CMCF，

∵AC=CB，

∴AC2=CMCF

（2）解：過點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)N，

則∠CMB=120°，

∵∠CBF=120°，

∴∠CMB=∠CBF，

∵∠BCF=∠BCM，

∴△CMB∽△CBF，

∴ = ，

即CB2=CMCF，

∵AC=CB=AB，CM= ，MF= ，

∴CB2= ，

AB=AC=BC= ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠OBA=30°，

∴ON= BO，

∴cos30°= = = ，

解得：BO= ，

即⊙O的半徑為： ；

（3）解：由題意可得：AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，

∴ = =

∵ =（ ）2

=（ ）2

∴ = 即S22=S1S3

∴所求的數(shù)量關(guān)系是S22=S1S3．

【解析】1）連結(jié)MB易證∠CMB=∠CBF，則可以得到△CMB∽△CBF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可證明；
（2）過點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)N，易證∠CMB=∠CBF，則可以得到△CMB∽△CBF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可得AB=AC=BC，從而得出△ABC是等邊三角形，故∠OBA=30°，根據(jù)含30直角三角形的邊之間的關(guān)系得出ON= BO，根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值及銳角三角函數(shù)的定義列出方程求解即可；
（3）由題意可得：AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根據(jù)平行線分線段成比例定理及相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平行線分線段成比例(三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．