Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）、B（﹣2，0）和點(diǎn)C（0，﹣8）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M，若點(diǎn)K為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△KCM的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)K的坐標(biāo)為　   　；

（3）連接AC，有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OPQ的面積為S．

①請(qǐng)問P、Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，

請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

②請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

③設(shè)S₀是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S₀的值．

Answer 1

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2）（x﹣6）

∵圖象過點(diǎn)（0，﹣8）

∴a=

∴二次函數(shù)的解析式為y=x²﹣x﹣8；--------------------（2分）

（2）∵y=x²﹣x﹣8=（x²﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）²﹣

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣）

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣8），

∴點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（0，8）

∴直線C′M的解析式為：y=﹣x+8

令y=0

得﹣x+8=0

解得：x=

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（，0）；-------------------（2分）

（3）①不存在PQ∥OC，

若PQ∥OC，則點(diǎn)P，Q分別在線段OA，CA上，

此時(shí)，1＜t＜2

∵PQ∥OC，

∴△APQ∽△AOC

∴

∵AP=6﹣3t

AQ=18﹣8t，

∴

∴t=

∵t=＞2不滿足1＜t＜2；

∴不存在PQ∥OC；-----------------------（3分）

③當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=12t²，函數(shù)的最大值是12；

當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S=﹣+，函數(shù)的最大值是；

當(dāng)2＜t＜，S=QP•OF=﹣+，函數(shù)的最大值為；-------------（3分）

∴S₀的值為_{-----------------（2分）}．