Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D是劣弧AC上的一點，連結AD并延長與BC的延長線交于點E，AC、BD相交于點M．

（1）求證：BCCE=ACMC；

（2）若點D是劣弧AC的中點，tan∠ACD=，MDBD=10，求⊙O的半徑．

（3）若CD∥AB，過點A作AF∥BC，交CD的延長線于點F，求﹣的值．

Answer 1

【答案】（1）見試題解析；（2）5；（3）1.

【解析】

試題分析：（1）要證明BCCE=ACMC，即證明=，即證明△CBM∽△CAE；

（2）因為點D是劣弧的中點，所以=，所以∠ABD=∠CAE=∠ACD，進而證明△AMD∽△BAD，可得AD2=MDBD=10，再由tan∠ACD=tan∠ABD=，求出BD的長度，利用勾股定理求出直徑AB的長度后，即可求出半徑的長度；

（3）因為CD∥AB，AF∥BC，所以△CDE∽△BAE，△ADF∽△DEC，利用對邊的比相等可得=，所以﹣=﹣．

試題解析：（1）∵=，∴∠MBC=∠CAE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BCM=∠ACE=90°，∴△CBM∽△CAE，∴=，∴BCCE=ACMC；

（2）∵點D是劣弧的中點，∴=；∴∠ABD=∠MBC，∠ACD=∠CAE，∵∠MBC=∠CAE，

∴∠ABD=∠CAE=∠ACD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴△AMD∽△BAD，

∴=，∴AD2=MDBD=10，∴AD=，∵tan∠ACD=tan∠ABD=，∴，

∴BD=3，∵AB2=AD2+BD2，∴AB==10，∴⊙O的半徑為：AB=5；

（3）∵CD∥AB，∴△CDE∽△BAE，∴=，∵AF∥CE，∴△ADF∽△DEC，

∴=，∴=，∴﹣=﹣=1．