【題目】已知邊長為3的正方形ABCD中,點E在射線BC上,且BE=2CE,連接AE交射線DC于點F,若△ABE沿直線AE翻折,點B落在點B1處.
(1)如圖1,若點E在線段BC上,求CF的長;
(2)求sin∠DAB1的值;
(3)如果題設(shè)中“BE=2CE”改為“=x”,其它條件都不變,試寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式及自變量x的取值范圍(只要寫出結(jié)論,不需寫出解題過程).
【答案】(1);(2) ① , ② ;(3)見解析.
【解析】分析:(1)利用平行線性質(zhì)以及線段比求出CF的值;
(2)本題要分兩種方法討論:①若點E在線段BC上;②若點E在邊BC的延長線上.需運用勾股定理求出與之相聯(lián)的線段;
(3)本題分兩種情況討論:若點E在線段BC上,y=,自變量取值范圍為x>0;若點E在邊BC的延長線上,y=,自變量取值范圍為x>1.
詳解:(1)∵AB∥DF,
∴,
∵BE=2CE,AB=3,
∴,
∴CF=;
(2)①若點E在線段BC上,如圖1,設(shè)直線AB1與DC相交于點M.
由題意翻折得:∠1=∠2.
∵AB∥DF,
∴∠1=∠F,
∴∠2=∠F,
∴AM=MF.
設(shè)DM=x,則CM=3-x.
又∵CF=1.5,
∴AM=MF=-x,
在Rt△ADM中,AD2+DM2=AM2,
∴32+x2=(-x)2,
∴x=,
∴DM=,AM=,
∴sin∠DAB1=;
②若點E在邊BC的延長線上,如圖2,設(shè)直線AB1與CD延長線相交于點N.
同理可得:AN=NF.
∵BE=2CE,
∴BC=CE=AD.
∵AD∥BE,
∴,
∴DF=FC=,
設(shè)DN=x,則AN=NF=x+.
在Rt△ADN中,AD2+DN2=AN2,
∴32+x2=(x+)2,
∴x=.
∴DN=,AN=,sin∠DAB1=;
(3)y=,自變量取值范圍為x>0;若點E在邊BC的延長線上,y=,自變量取值范圍為x>1.
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【題目】如圖,自行車鏈條每節(jié)鏈條的長度為2.5cm ,交叉重疊部分的圓的直徑為0.8cm.
(1)嘗試: 2節(jié)鏈條總長度是________ , 3節(jié)鏈條總長度是________ .
(2)發(fā)現(xiàn):用含的代數(shù)式表示節(jié)鏈條總長度是________. ( 要求填寫最簡結(jié)果)
(3)應(yīng)用:如果某種型號自行車鏈條總長度為 ,則它是由多少節(jié)這樣的鏈條構(gòu)成的?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣4(a≠0)的圖象與x軸交于A(﹣2,0)、C(8,0)兩點,與y軸交于點B,其對稱軸與x軸交于點D.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)如圖1,連結(jié)BC,在線段BC上是否存在點E,使得△CDE為等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,若點P(m,n)是該二次函數(shù)圖象上的一個動點(其中m>0,n<0),連結(jié)PB,PD,BD,求△BDP面積的最大值及此時點P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,將ABCD的AD邊延長至點E,使DE=AD,連接CE,F是BC邊的中點,連接FD.
(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)若AB=3,AD=4,∠A=60°,求CE的長.
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【題目】某化工車間發(fā)生有害氣體泄漏,自泄漏開始到完全控制利用了40min,之后將對泄漏有害氣體進行清理,線段DE表示氣體泄漏時車間內(nèi)危險檢測表顯示數(shù)據(jù)y與時間x(min)之間的函數(shù)關(guān)系(0≤x≤40),反比例函數(shù)y=對應(yīng)曲線EF表示氣體泄漏控制之后車間危險檢測表顯示數(shù)據(jù)y與時間x(min)之間的函數(shù)關(guān)系(40≤x≤?).根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)危險檢測表在氣體泄漏之初顯示的數(shù)據(jù)是 ;
(2)求反比例函數(shù)y=的表達式,并確定車間內(nèi)危險檢測表恢復(fù)到氣體泄漏之初數(shù)據(jù)時對應(yīng)x的值.
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【題目】如圖,兩個邊長分別為a,b(a>b)的正方形連在一起,三點C,B,F(xiàn)在同一直線上,反比例函數(shù)y=在第一象限的圖象經(jīng)過小正方形右下頂點E.若OB2﹣BE2=10,則k的值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 4
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【題目】列方程解應(yīng)用題:某商場第一季度銷售甲、乙兩種冰箱若干臺,其中乙種冰箱的數(shù)量比甲種冰箱多銷售臺,第二季度甲種冰箱的銷量比第一季度增加,乙種冰箱的銷量比第一季度增加,且兩種冰箱的總銷量達到臺.
求:(1)該商場第一季度銷售甲種冰箱多少臺?
(2)若每臺甲種冰箱的利潤為元,每臺乙種冰箱的利潤為元,則該商場第二季度銷售冰箱的總利潤是多少元?
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【題目】如圖1,長方形OABC的邊OA在數(shù)軸上,O為原點,長方形OABC的面積為12,OC邊長為3.
(1)數(shù)軸上點A表示的數(shù)為________.
(2)將長方形OABC沿數(shù)軸水平移動,移動后的長方形記為O′A′B′C′,移動后的長方形O′A′B′C′與原長方形OABC重疊部分(如圖2中陰影部分)的面積記為S.
①當(dāng)S恰好等于原長方形OABC面積的一半時,數(shù)軸上點A′表示的數(shù)是多少?
②設(shè)點A的移動距離AA′=x.
(ⅰ)當(dāng)S=4時,求x的值;
(ⅱ)D為線段AA′的中點,點E在線段OO′上,且OE=OO′,當(dāng)點D,E所表示的數(shù)互為相反數(shù)時,求x的值.
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【題目】如圖,數(shù)軸上A,B兩點表示的數(shù)分別為a,b,且a,b滿足|a+5|+(b﹣10)2=0.
(1)則a= ,b= ;
(2)點P,Q分別從A,B兩點同時向右運動,點P的運動速度為每秒5個單位長度,點Q的運動速度為每秒4個單位長度,運動時間為t(秒).
①當(dāng)t=2時,求P,Q兩點之間的距離.
②在P,Q的運動過程中,共有多長時間P,Q兩點間的距離不超過3個單位長度?
③當(dāng)t≤15時,在點P,Q的運動過程中,等式AP+mPQ=75(m為常數(shù))始終成立,求m的值.
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