Question

【題目】給出如下規(guī)定：兩個(gè)圖形和，點(diǎn)為上任一點(diǎn)，點(diǎn)為上任一點(diǎn)，如果線段的長(zhǎng)度存在最小值，就稱該最小值為兩個(gè)圖形和之間的距離．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)和射線之間的距離為______，點(diǎn)和射線之間的距離為　　　　．

（2）如果直線和雙曲線之間的距離為，那么____；(可在圖1中進(jìn)行研究)

（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，將射線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到射線，在坐標(biāo)平面內(nèi)所有和射線之間的距離相等的點(diǎn)所組成的圖形記為圖形．

①請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出圖形，井描述圖形的組成部分：(若涉及平面中某個(gè)區(qū)域時(shí)可以用陰影表示)

②將射線組成的圖形記為圖形，拋物線與圖形的公共部分記為圖形，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖形和圖形之間的距離．

Answer 1

【答案】（1）3，5；（2）-2；（3）①圖形見(jiàn)解析；圖形M為y軸的正半軸、∠GOH的邊及其內(nèi)部所有的點(diǎn)；②

【解析】

（1）只需根據(jù)新定義即可解決問(wèn)題；
（2）過(guò)點(diǎn)O作直線y=x的垂線，與雙曲線交于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸，如圖1，根據(jù)新定義可得直線y=x和雙曲線之間的距離就是線段OB的長(zhǎng)，如何只需求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出k的值；
（3）①過(guò)點(diǎn)O分別作射線OE、OF的垂線OG、OH，如圖2，根據(jù)新定義可得圖形M為y軸的正半軸、∠GOH的邊及其內(nèi)部所有的點(diǎn)；
②設(shè)拋物線y=x2-2與射線OG的交點(diǎn)為Q，如圖3，圖形N上點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（x，x2-2），根據(jù)新定義可得圖形W與圖形N之間的距離為的最小值．可通過(guò)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)得到x2的范圍，然后利用二次函數(shù)的增減性求出x2+（x2-2）2=（x2-）2+的最小值，就可解決問(wèn)題．

（1）點(diǎn)（2，3）和射線OA之間的距離為3，
點(diǎn)（-3，4）和射線OA之間的距離為，
故答案分別為：3，5；
（2）∵直線y=x和雙曲線之間的距離為2，
∴k＜0（否則直線y=x和雙曲線相交，它們之間的距離為0）．
過(guò)點(diǎn)O作直線y=x的垂線，與雙曲線交于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸，如圖1，

在Rt△OHB中，∠HOB=∠HBO=45°，OB=2，
則有OH=BH=OB=，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，），
∴k=span>，
故答案為：-2；
（3）①過(guò)點(diǎn)O分別作射線OE、OF的垂線OG、OH，如圖2，

則圖形M為：y軸的正半軸、∠GOH的邊及其內(nèi)部所有的點(diǎn)（圖2中的陰影部分）；
②圖形W與圖形N之間的距離為

4

3

．

理由：設(shè)拋物線y=x2-2與射線OH的交點(diǎn)為P，與射線OG的交點(diǎn)為Q，如圖3，

圖形N為拋物線上P、Q之間（含P、Q）的部分，故圖形N上點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（x，x2-2），
則圖形W與圖形N之間的距離為的最小值．
∵E點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1)

∴直線OE的解析式為：y=x，故直線OG的解析式為：y=-x

聯(lián)立方程組

解得：或

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，-1)，從而有0≤x2≤1，
由此可得x2+（x2-2）2=（x2-）2+的最小值為（1-）2+=2，
則圖形W與圖形N之間的距離為．