Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．

（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；
（2）連接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理可得：BA= ；
由題意現(xiàn)分兩種情況討論：
①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)， ，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴ ，解得： ；
②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)， ，
∴ ，解得， ；
綜上所述，當(dāng) 或 時(shí)，△BPQ與△ABC相似
（2）解：過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，如圖1所示：

∴∠PMB=∠ACB=90°，
∴PM∥AC，
∴△BPM∽△BAC，
∴ ，即 ，
∴PM= ，BM= ，
∴CM= .
∵AQ⊥CP，∠ACB=90°，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴ ，即 ，解得
【解析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；分兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，BP：BA=BQ：BC；當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，BP：BC=BQ：BA，再根據(jù)BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計(jì)算即可；
（2）分三種情況：①當(dāng)PB=PQ時(shí)，如圖1，過P作PH⊥BQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，②當(dāng)PB=BQ時(shí)，即5t=8-4t，，③當(dāng)BQ=PQ時(shí)，如圖2，過Q作QG⊥AB于G，BQ=8-4t，通過△BGQ∽△ACB，得到比例式
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解相似三角形的應(yīng)用(測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解)．