Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB為半徑作⊙C，交AC于點D，交AC的延長線于點E，連接ED，BE．

（1）求證：△ABD∽△AEB；

（2）當時，求tanE；

（3）在（2）的條件下，作∠BAC的平分線，與BE交于點F，若AF=2，求⊙C的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）要證明△ABD∽△AEB，已經有一組對應角是公共角，只需要再找出另一組對應角相等即可．

（2）由于AB：BC=4：3，可設AB=4，BC=3，求出AC的值，再利用（1）中結論可得AB2=ADAE，進而求出AE的值，所以tanE=；

（3）設設AB=4x，BC=3x，由于已知AF的值，構造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值，即可知道半徑3x的值．

試題解析：（1）∵∠ABC=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DBC，由題意知：DE是直徑，∴∠DBE=90°，∴∠E=90°﹣∠BDE，∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDE，∴∠ABD=∠E，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△AEB；

（2）∵AB：BC=4：3，∴設AB=4，BC=3，∴AC==5，∵BC=CD=3，∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，由（1）可知：△ABD∽△AEB，∴，∴=ADAE，∴=2AE，∴AE=8，在Rt△DBE中

tanE===；

（3）過點F作FM⊥AE于點M，∵AB：BC=4：3，∴設AB=4x，BC=3x，∴由（2）可知；AE=8x，AD=2x，∴DE=AE﹣AD=6x，∵AF平分∠BAC，∴，∴，∵tanE=，∴cosE=，sinE=，∴，∴BE=，∴EF=BE=，∴sinE==，∴MF=，∵tanE=，∴ME=2MF=，∴AM=AE﹣ME=，∵，∴，∴x=，∴⊙C的半徑為：3x=．