【題目】在學(xué)習(xí)三角形中位線的性質(zhì)時(shí),小亮對(duì)課本給出的解決辦法進(jìn)行了認(rèn)真思考:

課本研究三角形中位線性質(zhì)的方法

已知:如圖①,已知△ABC中,D,E分別是AB,AC兩邊中點(diǎn).求證:DE∥BC,DE=BC.

證明:延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F,使EF=DE,連接FC.…則△ADE≌△CFE.∴…

請(qǐng)你利用小亮的發(fā)現(xiàn)解決下列問題:

(1)如圖③,AD是△ABC的中線,BE交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,且AE=EF,求證:AC=BF.

請(qǐng)你幫助小亮寫出輔助線作法并完成論證過程:

(2)解決問題:如圖⑤,在△ABC中,∠B=45°,AB=10,BC=8,DE是△ABC的中位線.過點(diǎn)D,E作DF∥EG,分別交BC于點(diǎn)F,G,過點(diǎn)A作MN∥BC,分別與FD,GE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,N,則四邊形MFGN周長(zhǎng)的最小值是   

【答案】(1)證明見解析;(2)8+10

【解析】試題分析:(1)先判斷出BDF≌△CDM,得出MC=BF,再判斷出AC=MC,即可得出結(jié)論
(2)先判斷出四邊形DEGF,DENM,F(xiàn)GNM是平行四邊形,即:MN=FG=DE=4再判斷出平行四邊形FGNM是矩形時(shí),四邊形MFGN的周長(zhǎng)最小,最后用銳角三角函數(shù)求出MF=GN=5,求和即可得出結(jié)論

試題解析:(1)如圖1,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M,使MD=FD,連接MC,

在△BDF和△CDM中,BD=CD,∠BDF=∠CDM,DF=DM.

∴△BDF≌△CDM(SAS).

∴MC=BF,∠M=∠BFM.

∵EA=EF,

∴∠EAF=∠EFA.

∵∠AFE=∠BFM,

∴∠M=∠MAC.

∴AC=MC.

∴BF=AC.

(2)如圖2,

在△ABC中,∠B=45°,AB=10,BC=8,

∵DE是△ABC的中位線.

∴DE= BC=4,DE∥BC

∵DF∥EG,MN∥BC,

∴四邊形DEGF,DENM,F(xiàn)GNM是平行四邊形,

∴MN=FG=DE=4,

∴要四邊形MFGN周長(zhǎng)的最小只有MF=NG最小,

即:MF⊥BC,

∴平行四邊形FGNM是矩形,

過點(diǎn)A作AP⊥BC于P,

∴AP=MF=NG,

在Rt△ABP中,∠B=45°,AB=10,

∴AP=5 ,

∴MF=NG=5,

即四邊形MFGN周長(zhǎng)的最小值是8+10

故答案為:8+10

練習(xí)冊(cè)系列答案
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數(shù)量x(千克)

1

2

3

4

5

售價(jià)y(元)

3+0.1

6+0.2

9+0.3

12+0.4

15+0.5

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(1)若點(diǎn)P在邊BC上,PD=CD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)P在邊AB,AD上,點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q落在直線y=x-1上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)若點(diǎn)P在邊AB,AD,CD上,點(diǎn)G是AD與y軸的交點(diǎn),如圖2,過點(diǎn)P作y軸的平行線PM,過點(diǎn)G作x軸的平行線GM,它們相交于點(diǎn)M,將△PGM沿直線PG翻折,當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出答案).

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(2)請(qǐng)你將條形統(tǒng)計(jì)圖(2)補(bǔ)充完整;

(3)在平時(shí)的保齡球項(xiàng)目訓(xùn)練中,甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)決定從這四名同學(xué)中任選兩名參加保齡球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹狀圖或列表法解答)

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