Question

【題目】如圖1，我們?cè)?016年1月的日歷中標(biāo)出一個(gè)十字星，并計(jì)算它的“十字差”（將十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)分別相乘再將所得的積作差，稱為該十字星的“十字差”）．該十字星的十字差為12×14﹣6×20=48，再選擇其它位置的十字星，可以發(fā)現(xiàn)“十字差”仍為48．
（1）如圖2，將正整數(shù)依次填入5列的長(zhǎng)方形數(shù)表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的“十字差”也是一個(gè)定值，則這個(gè)定值為　24　 ．
（2）若將正整數(shù)依次填入k列的長(zhǎng)方形數(shù)表中（k≥3），繼續(xù)前面的探究，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)“十字差”為與列數(shù)k有關(guān)的定值，請(qǐng)用k表示出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，將正整數(shù)依次填入三角形的數(shù)表中，探究不同十字星的“十字差”，若某個(gè)十字星中心的數(shù)在第32行，且其相應(yīng)的“十字差”為2015，則這個(gè)十字星中心的數(shù)為　976　（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】解：（1）根據(jù)題意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；
故答案為：24；
（2）定值為k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；
證明：設(shè)十字星中心的數(shù)為x，則十字星左右兩數(shù)分別為x﹣1，x+1，上下兩數(shù)分別為x﹣k，x+k（k≥3），
十字差為（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，
故這個(gè)定值為k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；
（3）設(shè)正中間的數(shù)為a，則上下兩個(gè)數(shù)為a﹣62，a+64，左右兩個(gè)數(shù)為a﹣1，a+1，
根據(jù)題意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2015，
解得：a=976．
故答案為：976．
【解析】（1）根據(jù)題意求出相應(yīng)的“十字差”，即可確定出所求定值；
（2）定值為k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由為：設(shè)十字星中心的數(shù)為x，表示出十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)，進(jìn)而表示出十字差，化簡(jiǎn)即可得證；
（3）設(shè)正中間的數(shù)為a，則上下兩個(gè)數(shù)為a﹣62，a+64，左右兩個(gè)數(shù)為a﹣1，a+1，根據(jù)相應(yīng)的“十字差”為2015求出a的值即可．